二進法 二進法の概要

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二進法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/18 07:37 UTC 版)

「2進数」はこの項目へ転送されています。有理数を含む2進数については「p進数」をご覧ください。

記数法

「位取り記数法」も参照

二進法で表された数

二を底とする位取り記数法を二進記数法または単に二進法と呼ぶ。二進法による数の表示は、一の位を k = 0 とし添字 k で位の位置を表し、位の値を d_k ∈ {0, 1} で表せば、以下のように書ける：

$${\displaystyle d_{n-1}\cdots d_{1}d_{0}.d_{-1}\cdots \,.}$$

これは以下の総和の略記と見なせる：

$${\displaystyle \sum _{k}^{n-1}d_{k}2^{k}=d_{n-1}2^{n-1}+\cdots +2d_{1}+d_{0}+{\frac {d_{-1}}{2}}+\dotsm {}\,.}$$

例えば十進法における 21.25 は二進法において、

$${\displaystyle 10101.01_{2}=16+4+1+{\frac {1}{4}}=21.25}$$

と表される（添字の 2 は二進表記であることを示す）。負の数は一般的な記数法と同じく、負号をつけて表す（例：−10101.01₂）。

十進法など一般の位取り記数法と同様に、二進法においても小数部が有限の長さとなる数は一部の有理数に限られ、また円周率のような無理数を厳密に表すことはできない。二進法の場合、有理数を表す既約分数について、分母が2の冪ならば有限小数として書けるが、そうでないならば有限小数としては書けない。例えば十進法では 1/5 を有限小数 0.2 で表せるが、二進法では循環小数 0.0011₂ = 0.00110011…₂ で表さなければならない。

デジタル機器での使用

「コンピュータの数値表現」も参照

電子式コンピュータの電子回路などのデジタル回路（デジタル論理回路）、磁気ディスク等の記憶メディアでは、電圧の高低、磁極の N/S など、物理現象を二状態のみに縮退して扱う（離散化などと言う^{[注 1]}）ので、それに、真と偽の2つの値（2値の真理値）のみを使用する二値論理（しばしば、電子的には H と L、論理的には T と F という記号が使われる）をマッピングする。更にそこで数値を扱うには、それに「0 と 1」の二進法をマッピングするのが最適である。

多くの応用で見られるように桁数が有限の場合は、数学的に言うなら「有理数の部分集合」が表現されているわけであるが、通常は「有限精度の実数」が表現されていると解釈される。このため、コンピュータやデジタル機器は二進数が使用される。

また、八進法や十六進法や三十二進法は同じく2の冪を底とするためしばしば利用される。

負数の扱い

「符号付数値表現」も参照

ビット列によって負の数の値を表すため広く用いられる方法の一つとして、2の補数表現がある。2の補数表現は、n 桁のビット列の最上位ビットの重みを +2ⁿ⁻¹ ではなく −2ⁿ⁻¹ とするものである。2の補数表現は、そのビットパターンが、加減(及び、乗)の演算において特別な処理が不要なものになる、という特長を持つ。ただし、溢れ（オーバーフロー）の扱いが違ってくる（これは、例えばx86プロセッサにおける、キャリーフラグとオーバフローフラグの違いのことである（ステータスレジスタ#キャリーとオーバーフローを参照））。