二進法 他のN進法から二進法への変換方法

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二進法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/18 07:36 UTC 版)

他のN進法から二進法への変換方法

「十進法から二進法への変換方法」などといったものを考える必要はない。どちらも数の「表現法」に過ぎないのだから、単に「表現法 → 数 → 表現法」といったようにして変換すれば良いのである。

正の整数

正の整数 m を十進法から二進法に変換するのは次のようにする。

1. m を x に代入する。
2. x を 2 で割って、余りを求める。
3. x/2 の商を x に代入する。
4. 2. に戻る。x = 0 であれば終了。

余りを求めた順の逆に並べると、それが二進法に変換された結果になる。

例:192を二進法に変換する。

2)192　 　192=20×192

2) 96…0　192=21× 96+20×0

2) 48…0　192=22× 48+21×0+20×0

2) 24…0　192=23× 24+22×0+21×0+20×0

2) 12…0　192=24× 12+23×0+22×0+21×0+20×0

2)  6…0　192=25×  6+24×0+23×0+22×0+21×0+20×0

2)  3…0　192=26×  3+25×0+24×0+23×0+22×0+21×0+20×0

2)  1…1　192=27×  1+26×1+25×0+24×0+23×0+22×0+21×0+20×0

    0…1

よって 192₁₀ = 11000000₂ である。

正で 1 未満の数

正で 1 未満 (0 < m < 1) である数 m を十進法から二進法に変換するのは次のようにする。

1. 1 を n に、m を x に代入する。
2. 2x < 1 ならば、小数点以下第 n 位は 0 になる。2x > 1 ならば、小数点以下第 n 位は 1 になる。
3. 2x = 1 ならば終了。
4. 2x > 1 ならば 2x - 1 を x に代入する。2x < 1 ならば 2x を x に代入する。
5. n + 1 を n に代入する。
6. 小数点以下の桁数が必要な桁数まで求まっているか、循環小数となったら終了する。
7. 2. へ戻る。

計算の例1: 1/3 を二進法に変換する。

処理	（途中）結果
${\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}$	0.
${\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\times 2={\frac {2}{3}}<1\end{matrix}}$	0.0
${\begin{matrix}{\frac {2}{3}}\times 2=1{\frac {1}{3}}\geq 1\end{matrix}}$	0.01
${\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\times 2={\frac {2}{3}}<1\end{matrix}}$	0.010

ここで「処理」の部分の最後「${\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\times 2={\frac {2}{3}}<1\end{matrix}}$」はそれ以前に出てきた式である。このため、これ以上続けても同じ式の繰り返しで永久に終わらないことがわかる。すなわち小数部の「01」が循環することがわかるので終了する。

よって1/3₁₀=0.010101…₂=0.01₂

（なお、アンダーバーの部分（01）は無限に繰り返しという意味）

計算の例 2: 十進法での 0.1 を二進法に変換する。

処理	（途中）結果
0.1	0.
0.1×2=0.2<1	0.0
0.2×2=0.4<1	0.00
0.4×2=0.8<1	0.000
0.8×2=1.6≥1	0.0001
0.6×2=1.2≥1	0.00011
0.2×2=0.4<1	0.000110
0.4×2=0.8<1	0.0001100

ここで「処理」の部分の最後「0.4×2 = 0.8 < 1」はそれ以前に出てきた式である。このため、これ以上続けても同じ式の繰り返しで永久に終わらないことがわかる。すなわち小数部の「0011」が循環することがわかるので終了する。

よって 0.1₁₀ = 0.0001100110011…₂ = 0.00011₂ である。