コンパクト化 関数空間とコンパクト化

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コンパクト化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/10 12:57 UTC 版)

関数空間とコンパクト化

チコノフ空間 $X$ とそのハウスドルフなコンパクト化 $(i,K)$ に対して $X$ 上の関数空間 $C_{i}(X):=\{f\circ i\colon f\in C(K)\}$ を考える。 このとき自然な写像 $i^{*}:X\to \prod _{f\in C_{i}(X)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}$ は像への同相写像となる。 さらに関数空間によるストーン・チェックのコンパクト化の構成と同様の議論により ${\overline {i^{*}(X)}}$ はコンパクトでありしかも $K$ と同相。 以上のことからハウスドルフなコンパクト化は関数空間を適切に制限することで関数空間によるストーン・チェックのコンパクト化の構成と同様の方法で与えることが出来る。

この方法は種々のコンパクト化を構成する上で基本的な方法論となっている。