コンパクト化 ストーン・チェックのコンパクト化

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コンパクト化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/07/07 07:32 UTC 版)

ストーン・チェックのコンパクト化

チコノフ空間 には以下の性質を満たすコンパクト化が存在する事が知られており(具体的な構成方法は後述)、しかもそのようなコンパクト化は同値を除いて1つしかない事も知られている。この性質を満たすストーン・チェックのコンパクト化という[3]

ストーン・チェックのコンパクト化
  • で稠密
  • 上の有界連続関数は上の連続関数[4]に一意に拡張できる。すなわち任意の有界連続関数に対しある連続関数が存在し、が成立する。

普遍性

ストーン・チェックのコンパクト化は以下の性質を満たす事が知られている。 なお、この性質を満たすコンパクト化は同値を除いてストーン・チェックのコンパクト化に限る事が知られているので、この性質はストーン・チェックのコンパクト化を特徴づける。

ストーン・チェックのコンパクト化の普遍性

チコノフ空間とし、 のストーン・チェックのコンパクト化とする。このとき以下が成立する。 の任意のハウスドルフなコンパクト化 に対しある連続写像 が(実はただ一つ)存在して が成立する。 すなわち以下の図式が可換となる。

関数空間によるストーン・チェックのコンパクト化の構成

チコノフ空間 について 上の有界実関数全体とする。 このとき自然な埋め込み と定義する。このとき( がチコノフ空間なので) は同相写像となる。 さらに チコノフの定理からコンパクトとなることからその閉部分集合 はコンパクトである。

以上から はハウスドルフなコンパクト化になっている。


のハウスドルフなコンパクト化とする。このとき から自然な埋め込み が誘導され、さらにそこから自然な射影 が誘導される( がコンパクトなので は連続関数全体と一致する)。 さらに から への自然な埋め込みを とすると が成り立ち、 写像の連続性や像の稠密性及び空間のコンパクト性やハウスドルフ性から となる。

以上から が同相写像であることに注意すると を満たすことが分かる(一意性は で稠密であることから従う)。

連続写像の拡張

ストーン・チェックのコンパクト化における連続写像の拡張

をチコノフ空間 のストーン・チェックのコンパクト化とする。このとき以下が成立する。 任意のコンパクトハウスドルフ空間 と連続写像 に対し、ある連続写像 が(実はただ一つ)存在して が成立する。 すなわち以下の図式が可換となる。

このことはストーン・チェックのコンパクト化を得る操作がコンパクトハウスドルフ空間の圏からチコノフ空間の圏への忘却関手の左随伴関手であることを示している。 この意味でストーン・チェックのコンパクト化はチコノフ空間から「自由に生成された」コンパクト空間と見ることが出来る。


  1. ^ a b 『数学シリーズ集合と位相』内田伏一著、p124、裳華房
  2. ^ X が距離空間である場合には、コンパクト部分集合は必ず閉集合であるので、がコンパクトであるという条件だけ課せば の閉集合である事が従う。しかし一般にはそうではないので、コンパクト性と閉集合である事の両方をに対する条件として課す必要がある。
  3. ^ 『集合と位相空間』、柴田敏男著、共立出版。p217
  4. ^ この連続関数の定義域はコンパクトなので、この関数は有界である。




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