p ≡ 1 (mod 3) の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/16 01:32 UTC 版)
「3乗剰余の相互法則」の記事における「p ≡ 1 (mod 3) の場合」の解説
フェルマーの定理によれば、p ≡ 1 (mod 3) を満たす全ての素数 p は（a と b の符号を除き）p = a2 + 3b2 の形に一意的に書ける ことが知られている。ここで m = a + b かつ n = a − b とおけば、これは p = m2 − mn + n2 とも書き表せる。したがって、 4 p = ( 2 m − n ) 2 + 3 n 2 = ( 2 n − m ) 2 + 3 m 2 = ( m + n ) 2 + 3 ( m − n ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}4p&=(2m-n)^{2}+3n^{2}\\&=(2n-m)^{2}+3m^{2}\\&=(m+n)^{2}+3(m-n)^{2}\end{aligned}}} が成り立つことから、少しの計算によって m、n、m − n のうちの丁度1つが3の倍数であることが示される。これにより、（L と M の符号を除いて）一意的に p = 1 4 ( L 2 + 27 M 2 ) {\displaystyle p={\frac {1}{4}}(L^{2}+27M^{2})} の形で p を表すことができる。互いに素な整数 m とn に対し、rational cubic residue symbol[訳語疑問点] [ m ⁄ n ]3 を次のように定義する。 [ m n ] 3 = { 1 m is a cubic residue mod n − 1 m is a cubic non-residue mod n {\displaystyle \left[{\frac {m}{n}}\right]_{3}={\begin{cases}1&m{\text{ is a cubic residue }}{\bmod {n}}\\-1&m{\text{ is a cubic non-residue }}{\bmod {n}}\end{cases}}} この記号は、ルジャンドル記号のような乗法性を持たないことに注意が必要である。このためには、のちの節で定義するような真の3乗剰余記号が必要となる。 オイラーの予想 : p = a2 + 3b2を素数とすると、以下が成り立つ: [ 2 p ] 3 = 1 ⟺ 3 ∣ b , [ 3 p ] 3 = 1 ⟺ 9 ∣ b or 9 ∣ ( a ± b ) , [ 5 p ] 3 = 1 ⟺ 15 ∣ b or ( 3 ∣ b and 5 ∣ a ) or 15 ∣ ( a ± b ) or 15 ∣ ( 2 a ± b ) , [ 6 p ] 3 = 1 ⟺ 9 ∣ b or 9 ∣ ( a ± 2 b ) , [ 7 p ] 3 = 1 ⟹ ( 3 ∣ b and 7 ∣ a ) or 21 ∣ ( b ± a ) or 7 ∣ ( 4 b ± a ) or 21 ∣ b or 7 ∣ ( b ± 2 a ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\tfrac {2}{p}}\right]_{3}=1&\iff 3\mid b,\\\left[{\tfrac {3}{p}}\right]_{3}=1&\iff 9\mid b{\text{ or }}9\mid (a\pm b),\\\left[{\tfrac {5}{p}}\right]_{3}=1&\iff 15\mid b{\text{ or }}(3\mid b{\text{ and }}5\mid a){\text{ or }}15\mid (a\pm b){\text{ or }}15\mid (2a\pm b),\\\left[{\tfrac {6}{p}}\right]_{3}=1&\iff 9\mid b{\text{ or }}9\mid (a\pm 2b),\\\left[{\tfrac {7}{p}}\right]_{3}=1&\implies (3\mid b{\text{ and }}7\mid a){\text{ or }}21\mid (b\pm a){\text{ or }}7\mid (4b\pm a){\text{ or }}21\mid b{\text{ or }}7\mid (b\pm 2a).\end{aligned}}} 最初の2つの命題は次のように言い換えることができる 。 p を3を法として1に合同な素数とするとき、以下が成り立つ:2が p の3乗剰余となるのは、p = a2 + 27b2 と書けるとき、そしてそのときに限る。 3が p の3乗剰余となるのは、4p = a2 + 243b2 と書けるとき、そしてそのときに限る。 ガウスの定理 : p を次を満たす正の素数とする: p = 3 n + 1 = 1 4 ( L 2 + 27 M 2 ) . {\displaystyle p=3n+1={\tfrac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right).} このとき、 L ( n ! ) 3 ≡ 1 mod p {\displaystyle L(n!)^{3}\equiv 1{\bmod {p}}} が成り立つ。 このガウスの定理により、直ちに次が従う。 [ L p ] 3 = [ M p ] 3 = 1. {\displaystyle \left[{\tfrac {L}{p}}\right]_{3}=\left[{\tfrac {M}{p}}\right]_{3}=1.} ヤコビの定理（証明なしで述べられている）。 q ≡ p ≡ 1 ( mod 6 ) {\displaystyle {\mathit {q}}\equiv {\mathit {p}}\equiv {\text{1}}{\pmod {\text{6}}}} が正の素数とする。明らかに、 pとqの両方とも3を法として1に合同であるため、次のように仮定する。 p = 1 4 ( L 2 + 27 M 2 ) , q = 1 4 ( L ′ 2 + 27 M ′ 2 ) . {\displaystyle p={\tfrac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right),\qquad q={\tfrac {1}{4}}\left(L'^{2}+27M'^{2}\right).} x {\displaystyle {\mathit {x}}} を x 2 ≡ -3 ( mod q ) {\displaystyle {\mathit {x}}^{2}\equiv {\text{-3}}{\pmod {q}}} の解とする。このとき x ≡ ± L ′ 3 M ′ mod q , {\displaystyle x\equiv \pm {\frac {L'}{3M'}}{\bmod {q}},} ： これにより [ q p ] 3 = 1 ⟺ [ L + 3 M x 2 p q ] 3 = 1 ⟺ [ L + 3 M x L − 3 M x q ] 3 = 1 [ q p ] 3 = 1 ⟹ [ L M ′ + L ′ M L M ′ − L ′ M q ] 3 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad \left[{\frac {{\frac {L+3Mx}{2}}p}{q}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad \left[{\frac {\frac {L+3Mx}{L-3Mx}}{q}}\right]_{3}=1\\\left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longrightarrow \quad \left[{\frac {\frac {LM'+L'M}{LM'-L'M}}{q}}\right]_{3}=1\end{aligned}}} レーマーの定理。 qとpを素数とし、 p = 1 4 ( L 2 + 27 M 2 ) {\displaystyle p={\tfrac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right)} このとき [ q p ] 3 = 1 ⟺ q ∣ L M or L ≡ ± 9 r 2 u + 1 M mod q , {\displaystyle \left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad q\mid LM{\text{ or }}L\equiv \pm {\frac {9r}{2u+1}}M{\bmod {q}},} ただし u ≢ 0 , 1 , − 1 2 , − 1 3 mod q and 3 u + 1 ≡ r 2 ( 3 u − 3 ) mod q . {\displaystyle u\not \equiv 0,1,-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{3}}{\bmod {q}}\quad {\text{and}}\quad 3u+1\equiv r^{2}(3u-3){\bmod {q}}.} 最初の条件は、LまたはMを割り切る任意の数が3乗剰余（mod p ）であることを意味することに注意すること。 これの最初のいくつかの例は、オイラー予想と同等である。 [ 2 p ] 3 = 1 ⟺ L ≡ M ≡ 0 mod 2 [ 3 p ] 3 = 1 ⟺ M ≡ 0 mod 3 [ 5 p ] 3 = 1 ⟺ L M ≡ 0 mod 5 [ 7 p ] 3 = 1 ⟺ L M ≡ 0 mod 7 {\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {2}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad L\equiv M\equiv 0{\bmod {2}}\\\left[{\frac {3}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad M\equiv 0{\bmod {3}}\\\left[{\frac {5}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad LM\equiv 0{\bmod {5}}\\\left[{\frac {7}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad LM\equiv 0{\bmod {7}}\end{aligned}}} 明らかに'L≡M（mod' 2）なので、q= 2のばあいの基準は以下のように簡略化することができる。 [ 2 p ] 3 = 1 ⟺ M ≡ 0 mod 2 . {\displaystyle \left[{\frac {2}{p}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad M\equiv 0{\bmod {2}}.} マルティネットの定理。 p ≡ q ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle {\mathit {p}}\equiv {\mathit {q}}\equiv {\text{1}}{\pmod {\text{3}}}} が素数であるとする。 p q = 1 4 ( L 2 + 27 M 2 ) {\displaystyle pq={\tfrac {1}{4}}(L^{2}+27M^{2})} このとき [ L p ] 3 [ L q ] 3 = 1 ⟺ [ q p ] 3 [ p q ] 3 = 1. {\displaystyle \left[{\frac {L}{p}}\right]_{3}\left[{\frac {L}{q}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad \left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}\left[{\frac {p}{q}}\right]_{3}=1.} シャリフィの定理。 p = 1 + 3 x + 9 x 2 {\displaystyle {\mathit {p}}={\text{1}}+{\text{3}}{\mathit {x}}+{\text{9}}{\mathit {x}}^{2}} を素数とする。このとき、 xの約数は3乗剰余（mod p ）。
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