切断正規分布 (せつだんせいきぶんぷ) は正規分布 と似ているが、確率変数
x
{\displaystyle x}
確率分布 である。上下とも有界 (A ≤ x ≤ B
定義と性質 切断正規分布の確率密度関数 は以下で定義される。
f
(
x
;
μ
,
σ
,
a
,
b
)
=
1
σ
ϕ
(
x
−
μ
σ
)
Φ
(
b
−
μ
σ
)
−
Φ
(
a
−
μ
σ
)
{\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ,a,b)={\frac {{\frac {1}{\sigma }}\phi ({\frac {x-\mu }{\sigma }})}{\Phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})-\Phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})}}}
ここで
ϕ
(
⋅
)
{\displaystyle \scriptstyle {\phi (\cdot )}\ }
正規分布 N (0, 1)
Φ
(
⋅
)
{\displaystyle \scriptstyle {\Phi (\cdot )}}
正規分布 N (0, 1)累積分布関数 である。
モーメント 切断正規分布の期待値と分散は、二重に切断されている場合、
E
(
X
|
A
<
X
<
B
)
=
μ
+
ϕ
(
a
−
μ
σ
)
−
ϕ
(
b
−
μ
σ
)
Φ
(
b
−
μ
σ
)
−
Φ
(
a
−
μ
σ
)
σ
{\displaystyle \operatorname {E} (X|A<X<B)=\mu +{\frac {\phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})-\phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})}{\Phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})-\Phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})}}\sigma }
Var
(
X
|
A
<
X
<
B
)
=
σ
2
[
1
+
a
−
μ
σ
ϕ
(
a
−
μ
σ
)
−
b
−
μ
σ
ϕ
(
b
−
μ
σ
)
Φ
(
b
−
μ
σ
)
−
Φ
(
a
−
μ
σ
)
−
(
ϕ
(
a
−
μ
σ
)
−
ϕ
(
b
−
μ
σ
)
Φ
(
b
−
μ
σ
)
−
Φ
(
a
−
μ
σ
)
)
2
]
{\displaystyle \operatorname {Var} (X|A<X<B)=\sigma ^{2}\left[1+{\frac {{\frac {a-\mu }{\sigma }}\phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})-{\frac {b-\mu }{\sigma }}\phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})}{\Phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})-\Phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})}}-\left({\frac {\phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})-\phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})}{\Phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})-\Phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})}}\right)^{2}\right]}
であり、単一切断正規分布の場合は
E
(
X
|
X
>
A
)
=
μ
+
σ
R
(
A
−
μ
σ
)
{\displaystyle \operatorname {E} (X|X>A)=\mu +{\frac {\sigma }{R\left({\frac {A-\mu }{\sigma }}\right)}}}
Var
(
X
|
X
>
A
)
=
σ
2
[
1
+
A
−
μ
σ
R
(
A
−
μ
σ
)
−
{
1
R
(
A
−
μ
σ
)
}
2
]
{\displaystyle \operatorname {Var} (X|X>A)=\sigma ^{2}\left[1+{\frac {\frac {A-\mu }{\sigma }}{R\left({\frac {A-\mu }{\sigma }}\right)}}-\left\{{\frac {1}{R\left({\frac {A-\mu }{\sigma }}\right)}}\right\}^{2}\right]}
である。ここで
R
(
x
−
μ
σ
)
=
1
−
Φ
(
x
−
μ
σ
)
ϕ
(
x
−
μ
σ
)
{\displaystyle R\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)={\frac {1-\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}{\phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}}}
は、ミルズ比である。
参考文献 蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003). 関連項目 確率分布
一覧（英語版 ） 離散単変量で 離散単変量で 連続単変量で 連続単変量で 連続単変量で 連続単変量で 混連続-離散単変量 多変量 (結合) 方向 退化 と特異 族 サンプリング法（英語版 ）
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X|A<X<B)=\sigma ^{2}\left[1+{\frac {{\frac {a-\mu }{\sigma }}\phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})-{\frac {b-\mu }{\sigma }}\phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})}{\Phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})-\Phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})}}-\left({\frac {\phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})-\phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})}{\Phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})-\Phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})}}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7640fc71db437a2cc9e0ab8f2283aa4f997dc639)
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X|X>A)=\sigma ^{2}\left[1+{\frac {\frac {A-\mu }{\sigma }}{R\left({\frac {A-\mu }{\sigma }}\right)}}-\left\{{\frac {1}{R\left({\frac {A-\mu }{\sigma }}\right)}}\right\}^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3510996b37f68358250079eb4ae5a1cca384920e)
