Proof that e is irrational

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ネイピア数の無理性の証明

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/26 17:25 UTC 版)

ネイピア数の無理性の証明（ねいぴあすうのむりせいのしょうめい）は、1744年にオイラーが初めて行った。実際、ネイピア数 e は 2 < e < 3 を満たす無理数である。証明は背理法による。すなわち、e が有理数であると仮定して矛盾を導く。e が無理数であることの証明は、円周率 π が無理数であることの証明よりずっと易しい。π の無理性が初めて示されたのは1761年のことである。

e を底とする指数関数 e^x は以下のようにテイラー展開される。

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

x = 1 を代入すると

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots$

以下、これを e の定義として無理数であることを証明する。

証明

e = a/b を満たす自然数 a, b が存在すると仮定すると b! ⋅ e は以下のように展開される。

${\begin{aligned}b!\cdot e&=\left(b!+{\frac {b!}{1!}}+{\frac {b!}{2!}}+{\frac {b!}{3!}}+\cdots +{\frac {b!}{b!}}\right)\\&\qquad +\left\{{\frac {b!}{(b+1)!}}+{\frac {b!}{(b+2)!}}+{\frac {b!}{(b+3)!}}+\cdots \right\}.\end{aligned}}$

左辺は $b!\cdot e=b!\cdot {\frac {a}{b}}=a(b-1)!$ であるから自然数である。右辺は (　) 内の b! から b!/b! までの項は全て自然数であるが、{　} 内の b!/(b + 1)! 以降の全ての項の和は、b が 1 以上であることから

${\begin{aligned}&\quad \left\{{\frac {b!}{(b+1)!}}+{\frac {b!}{(b+2)!}}+{\frac {b!}{(b+3)!}}+\cdots \right\}\\&={\frac {1}{(b+1)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\cdots \\&<{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots =1\end{aligned}}$

と 1 未満になる。したがって (　) 内と {　} 内を足した右辺は自然数でないことになり、左辺が自然数という結果と矛盾する。

ゆえに e = a/b を満たす自然数 a, b が存在するという仮定は誤りである。

ネイピア数の冪乗の無理性

一般に、q を 0 でない有理数とすると、e^q は無理数である。これは、リンデマンの定理のごく特別な場合であるが、それ自体の証明は比較的易しく、『天書の証明』で1ページ程度にまとめられている。

参考文献

• 塩川宇賢『無理数と超越数』森北出版、1999年3月30日。ISBN 4-627-06091-2。 

  1〜2頁および60〜61頁にネイピア数の無理性の証明が掲載されている。

• ジャン=ポール・ドゥラエ『π――魅惑の数』畑政義訳、朝倉書店、2001年10月20日。 ISBN 4-254-11086-3。 

  130頁にネイピア数の無理性の証明が掲載されている。

関連項目

• ネイピア数
• 無理数
• 円周率の無理性の証明

Weblio日本語例文用例辞書

「Proof that e is irrational」の例文・使い方・用例・文例

• 関係代名詞のthatは、主格、目的格の2つであり、所有格はありません。
• 先行詞がthis,that,these,thoseの場合はwhichを用いるのが普通です。
• that　には、主格、目的格の２つしかなく、格による形の変化はない。
• 間接話法 《たとえば He said that he was ill. など》.
• 従位接続詞 《as, if, that など; ⇔coordinate conjunction》.
• この ‘that' を略す略さないは書く人の随意である.
• 可算名詞と共に使用できて、しばしば『as』『too』によって先行されている数量詞、『so』または『that』
• 『Each made a list of the books that had influenced him』における制限節は、リストに載った本を制限節で定義された特定の本だけに制限する
• 独立節を導く（`since'、`that'、`who'のような）接続詞
• ある先行詞を指す関係詞節を導く（『that』『which』『who』のような）代名詞
• 米国のCongressは英国のParliamentに相当する
• 7はJanuaryseventhと読む
• 彼はよくillegalという単語のつづりを間違う
• 名詞womenは複数形です
• 「鶏」はchickenで、「みぞれ」とはsleetという意味です。
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