2状態（スピン-1/2）の粒子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/22 08:47 UTC 版)
「キュリーの法則」の記事における「2状態（スピン-1/2）の粒子」の解説
計算を簡単にするために、2状態の粒子を考える。2状態とは、粒子の磁気モーメントが磁場に対して平行（平行で向きも同じ）と反平行（平行だが向きは逆）のどちらかをとることができるということを意味する。よって磁気モーメントに許される値は μ {\displaystyle \mu } または − μ {\displaystyle -\mu } である。この模型をイジング模型とよぶ。この場合、各粒子は E 0 = − μ B {\displaystyle E_{0}=-\mu B} か E 1 = μ B {\displaystyle E_{1}=\mu B} のどちらかのエネルギーをもつことができる。 次に、粒子が磁場の方向に向くときの向きやすさを考える。この向きやすさを磁化 μ {\displaystyle \mu } の期待値で考える。 ⟨ μ ⟩ = μ P ( μ ) + ( − μ ) P ( − μ ) = 1 Z ( μ e μ B β − μ e − μ B β ) = 2 μ Z sinh ( μ B β ) , {\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu P\left(\mu \right)+(-\mu )P\left(-\mu \right)={1 \over Z}\left(\mu e^{\mu B\beta }-\mu e^{-\mu B\beta }\right)={2\mu \over Z}\sinh(\mu B\beta ),} ここで粒子の配向の確率はそのボルツマン因子によって与えられており、更に確率は分配関数 Z {\displaystyle Z} で割ることによって正規化されている（よって全確率の和は1である）。 一粒子の分配関数は以下で与えられる。 Z = ∑ n = 0 , 1 e − E n β = e μ B β + e − μ B β = 2 cosh ( μ B β ) {\displaystyle Z=\sum _{n=0,1}e^{-E_{n}\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta }=2\cosh \left(\mu B\beta \right)} 以上より、この単純な場合には次式の一粒子当たりの磁化の期待値を得る。 ⟨ μ ⟩ = μ tanh ( μ B β ) {\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu \tanh \left(\mu B\beta \right)} さらに、固体の磁化の総量は次の式で与えられる。 M = N ⟨ μ ⟩ = N μ tanh ( μ B k T ) {\displaystyle M=N\left\langle \mu \right\rangle =N\mu \tanh \left({\frac {\mu B}{kT}}\right)} 上記の公式はランジュバンの常磁性方程式 (Langevin paramagnetic equation) などと呼ばれる。ピエール・キュリーは実験において、比較的高温の場合や低磁場の場合におけるこの法則の近似式を発見した。 このランジュバンの求めた磁化が、 T {\displaystyle T} が大きく B {\displaystyle B} が小さいという特別な条件下でどのように表されるかを見てみよう。温度が上昇し、磁場が減少するに従い、 tanh {\displaystyle \tanh } の引数が減少してゆく。すなわち μ B / k T ≪ 1 {\displaystyle \mu B/kT\ll 1} となる。ここで、 | x | ≪ 1 {\displaystyle |x|\ll 1} の場合 tanh x ≈ x {\displaystyle \tanh x\approx x} という近似が成り立つため、磁化 M {\displaystyle {\boldsymbol {M}}} は M ( T → ∞ ) = N μ 2 k B T {\displaystyle {\boldsymbol {M}}(T\rightarrow \infty )={\frac {N\mu ^{2}}{k}}{\frac {\boldsymbol {B}}{T}}} と表すことができる。 以上より、キュリーの法則を証明することができた。なお、キュリー定数 C {\displaystyle C} は C = N μ 2 / k {\displaystyle C=N\mu ^{2}/k} である。また反対に、低温や高磁場の状況では磁化 M {\displaystyle M} は最大値 N μ {\displaystyle N\mu } に漸近する。これは全ての粒子が完全に磁場の方向へと整列していることを意味している。
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