1次元離散時間力学系のリアプノフ指数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/07 10:10 UTC 版)
「リアプノフ指数」の記事における「1次元離散時間力学系のリアプノフ指数」の解説
まず、単純な1次元離散力学系の場合のリアプノフ指数について説明する。 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } を系の状態変数、 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } を離散時間としたとき（ここでは N {\displaystyle \mathbb {N} } は0を含む）、 写像 xn+1 = f(xn) のリアプノフ指数 λ は次のように定義される。 λ = lim n → ∞ 1 n ∑ i = 0 n − 1 ln | f ′ ( x i ) | {\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\ln |f'(x_{i})|} ここで、ln は自然対数を意味する。上式は次のように導入される。 初期位置を x0 とする。さらに、x0 からの微小量 λ0 ずれた点 x0 + λ0 を考える。リアプノフ指数では x0 から出発する軌道と x0 + λ0 から出発する軌道がどれだけ離れていくかを定義したい。ずれは時間発展とともに変化していくと考えられるので、時刻 n におけるずれを λn で表す。n = 1 でのずれは δ 1 = f ( x 0 + δ 0 ) − f ( x 0 ) {\displaystyle \delta _{1}=f(x_{0}+\delta _{0})-f(x_{0})} となり、n = n でのずれも同様に、 δ n = f n ( x 0 + δ 0 ) − f n ( x 0 ) {\displaystyle \delta _{n}=f^{n}(x_{0}+\delta _{0})-f^{n}(x_{0})} と得られる。ここで、fn(x)は f(x)の n 回反復写像を表す。 本記事の冒頭で定義したように、λn が n に指数関数的に比例するとして、 | δ n | = | δ 0 | e λ n {\displaystyle |\delta _{n}|=|\delta _{0}|e^{\lambda n}} と表す。両辺の自然対数をとると、 λ = 1 n ln | δ n δ 0 | {\displaystyle \lambda ={\frac {1}{n}}\ln \left|{\frac {\delta _{n}}{\delta _{0}}}\right\vert } が得られる。ただし、初期のずれ量 λ0 は微小量としたが、実際にはリアプノフ指数は初期のずれ量を無限小とした λ0 → 0 の極限値で定義される。よって、上式は λ = 1 n ln | lim δ 0 → 0 δ n δ 0 | {\displaystyle \lambda ={\frac {1}{n}}\ln \left|\lim _{\delta _{0}\to 0}{\frac {\delta _{n}}{\delta _{0}}}\right\vert } となる。上式の絶対値の中身に注目すると、 lim δ 0 → 0 δ n δ 0 = lim δ 0 → 0 f n ( x 0 + δ 0 ) − f n ( x 0 ) δ 0 = ( f n ) ′ ( x 0 ) = ∏ i = 0 n − 1 f ′ ( x i ) {\displaystyle \lim _{\delta _{0}\to 0}{\frac {\delta _{n}}{\delta _{0}}}=\lim _{\delta _{0}\to 0}{\frac {f^{n}(x_{0}+\delta _{0})-f^{n}(x_{0})}{\delta _{0}}}=(f^{n})'(x_{0})=\prod _{i=0}^{n-1}f'(x_{i})} とできる。ここで (f n)'(x) は、fn(x) の微分を意味する。 ∏ {\displaystyle \prod } は総乗を意味し、最右辺は合成関数の微分の連鎖律により得ることができる。よって、 λ = 1 n ln | ∏ i = 0 n − 1 f ′ ( x i ) | = 1 n ∑ i = 0 n − 1 ln | f ′ ( x i ) | {\displaystyle \lambda ={\frac {1}{n}}\ln \left|\prod _{i=0}^{n-1}f'(x_{i})\right\vert ={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\ln \left|f'(x_{i})\right\vert } となる。さらに上式において n → ∞ とした極限値が存在するとき、その極限値を初期値 x0 から出発する軌道のリアプノフ指数と呼ぶ。 λ = lim n → ∞ 1 n ∑ i = 0 n − 1 ln | f ′ ( x i ) | {\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\ln |f'(x_{i})|} 1968年に発表されたValery Oseledecの多重エルゴード定理により、n → ∞ の極限値が存在すること、ほとんどすべての初期値 x0 で λ は同じ値に収束することが証明されている。対象とする力学系のアトラクターの吸引域内の初期値であれば、全ての初期値で同じ λ の値に収束する。
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