順時固有ローレンツ群とSL(2,C)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 13:51 UTC 版)
「パウリ行列」の記事における「順時固有ローレンツ群とSL(2,C)」の解説
パウリ行列は順時固有ローレンツ群 L↑+ とその普遍被覆群である2次特殊線形群 SL(2, C) を対応づけるのに用いられる。ローレンツ群 L = O(3, 1) は一般線形群 GL(4, R) の元 Λ で4次元時空のミンコフスキー計量 g = (gμν) = diag(+1 ,−1, −1, −1) (μ, ν = 0, 1, 2, 3) に対し、ΛTgΛ = g を満たし、ミンコフスキー内積を保つものから成る。 L = { Λ ∈ G L ( 4 , R ) | Λ T g Λ = g } {\displaystyle L=\{\Lambda \in GL(4,\mathbb {R} )|\,\Lambda ^{T}g\Lambda =g\}} 一方、順時固有ローレンツ群 L↑+ = SO+(3, 1) はローレンツ群の連結な正規部分群であり、00成分と行列式の符号についての条件から L + ↑ = { Λ ∈ L | Λ 00 ≥ 1 , det Λ = 1 } {\displaystyle L_{+}^{\uparrow }=\{\Lambda \in L|\,\Lambda _{00}\geq 1,\det {\Lambda }=1\}} として、定義される。ここで4元ベクトル x = (x0, x1, x2, x3) に対し、パウリ行列 σ0 = I, σ→ = (σ1, σ2, σ3) により、2次正方行列 X = ∑ μ = 0 3 σ μ x μ = x 0 I + x → ⋅ σ → = [ x 0 + x 3 x 1 + i x 2 x 1 − i x 2 x 0 − x 3 ] {\displaystyle X=\textstyle \sum \limits _{\mu =0}^{3}\sigma _{\mu }x^{\mu }=x^{0}I+{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}={\begin{bmatrix}x^{0}+x^{3}&x^{1}+ix^{2}\\x^{1}-ix^{2}&x^{0}-x^{3}\end{bmatrix}}} を導入する。その行列式は det X = ( x 0 ) 2 − ( x 1 ) 2 − ( x 2 ) 2 − ( x 3 ) 2 {\displaystyle \det X=(x^{0})^{2}-(x^{1})^{2}-(x^{2})^{2}-(x^{3})^{2}} であり、ミンコフスキー内積 ⟨x, x⟩ を与える。ここで SL(2, C) の元 A により、変換 X ′ = A X A † {\displaystyle X'=AXA^{\dagger }} を定義すると、 det X ′ = det X {\displaystyle \det X'=\det X} であり、ミンコフスキー内積を保ち、順時固有ローレンツ変換 Λ(A) を与える。さらに、±A は同じローレンツ変換 Λ(A) = Λ(−A) を与えることから、これは SL(2, C) から L↑+ への2対1の準同型写像を与える。その核は Z2 = {±1} であり、群の同型対応 S L ( 2 , C ) / Z 2 ≅ L + ↑ {\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )/\mathbb {Z} _{2}\cong L_{+}^{\uparrow }} が成り立つ。
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