長完全系列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/14 09:27 UTC 版)
A を分数体 F を持つデデキント整域とすると、長完全系列 K 2 F → ⊕ p K 1 A / p → K 1 A → K 1 F → ⊕ p K 0 A / p → K 0 A → K 0 F → 0 {\displaystyle K_{2}F\rightarrow \oplus _{\mathbf {p} }K_{1}A/{\mathbf {p} }\rightarrow K_{1}A\rightarrow K_{1}F\rightarrow \oplus _{\mathbf {p} }K_{0}A/{\mathbf {p} }\rightarrow K_{0}A\rightarrow K_{0}F\rightarrow 0\ } が存在する。ここに p は A のすべての素イデアルを渡る。 相対 K-群 K1 と K0 に対して、次の完全系列の拡大が存在する。 K 2 ( A ) → K 2 ( A / I ) → K 1 ( A , I ) → K 1 ( A ) ⋯ . {\displaystyle K_{2}(A)\rightarrow K_{2}(A/I)\rightarrow K_{1}(A,I)\rightarrow K_{1}(A)\cdots \ .}
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長完全系列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/19 09:14 UTC 版)
フィルターつき複体のスペクトル系列を使って、長完全系列の存在を導くことができる。双対鎖複体の短完全系列 0 → A• → B• → C• → 0 を一つとり、最初の写像を f• : A• → B• とする。この系列のホモロジーを取って、自然な写像 Hn(A•) → Hn(B•) → Hn(C•) が得られ、これは真ん中の部分で完全であることは知っている。フィルターつき複体のスペクトル系列を使ってこれの連結準同型を見つけ、そうやってできる列が完全であることを証明しよう。まず、B• のフィルターを F 0 B n = B n {\displaystyle F^{0}B^{n}=B^{n}} F 1 B n = A n {\displaystyle F^{1}B^{n}=A^{n}} F 2 B n = 0 {\displaystyle F^{2}B^{n}=0} で定義する。定義から、 E 0 p , q = F p B p + q F p + 1 B p + q = { 0 if p < 0 or p > 1 C q if p = 0 A q + 1 if p = 1 {\displaystyle E_{0}^{p,q}={\frac {F^{p}B^{p+q}}{F^{p+1}B^{p+q}}}={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\C^{q}&{\text{if }}p=0\\A^{q+1}&{\text{if }}p=1\end{cases}}} E 1 p , q = { 0 if p < 0 or p > 1 H q ( C ∙ ) if p = 0 H q + 1 ( A ∙ ) if p = 1 {\displaystyle E_{1}^{p,q}={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\H^{q}(C^{\bullet })&{\text{if }}p=0\\H^{q+1}(A^{\bullet })&{\text{if }}p=1\end{cases}}} となる。微分は2重次数 (1, 0) を持つので、d0,q : Hq(C•) → Hq+1(A•) である。この写像は蛇の補題による連結準同型で、写像 A• → B• → C• とあわせて列 ⋯ → H q ( B ∙ ) → H q ( C ∙ ) → H q + 1 ( A ∙ ) → H q + 1 ( B ∙ ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \rightarrow H^{q}(B^{\bullet })\rightarrow H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })\rightarrow \cdots } を得る。あとはこの列が A と C のところで完全であることを示せばよい。さきのスペクトル系列は、微分の2重次数は (2, −1) であるから、E2 項で退化することに注意する。したがって、E2 項は E∞ 項と一致するので、 E 2 p , q ≅ gr p H p + q ( B ∙ ) = { 0 if p < 0 or p > 1 H q ( B ∙ ) / H q ( A ∙ ) if p = 0 im H q + 1 f ∙ : H q + 1 ( A ∙ ) → H q + 1 ( B ∙ ) if p = 1 {\displaystyle E_{2}^{p,q}\cong {\text{gr}}_{p}H^{p+q}(B^{\bullet })={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\H^{q}(B^{\bullet })/H^{q}(A^{\bullet })&{\text{if }}p=0\\{\text{im }}H^{q+1}f^{\bullet }:H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })&{\text{if }}p=1\end{cases}}} が成り立つ。E2 項は、これに加えて E1 項のホモロジーとしての直接的な記述を持つ。この2つの記述の記述を比べて、同型 H q ( B ∙ ) / H q ( A ∙ ) ≅ ker d 0 , q 1 : H q ( C ∙ ) → H q + 1 ( A ∙ ) {\displaystyle H^{q}(B^{\bullet })/H^{q}(A^{\bullet })\cong \ker d_{0,q}^{1}:H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet })} im H q + 1 f ∙ : H q + 1 ( A ∙ ) → H q + 1 ( B ∙ ) ≅ H q + 1 ( A ∙ ) / ( im d 0 , q 1 : H q ( C ∙ ) → H q + 1 ( A ∙ ) ) {\displaystyle {\text{im }}H^{q+1}f^{\bullet }:H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })\cong H^{q+1}(A^{\bullet })/({\mbox{im }}d_{0,q}^{1}:H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet }))} を得る。1番目の式から C のところでの完全性が従い、2番目の式から A のところでの完全性が従う。
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