透磁率の導入
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 01:28 UTC 版)
透磁率なる概念を、新たに導入する。即ち、3次正方行列に値を取る行列値関数 μ ( r ) {\displaystyle {\mu }(\mathbf {r} )} （透磁率）を用いて、 B tot ( r ) = μ ( r ) H tot ( r ) {\displaystyle \mathbf {B} _{\text{tot}}(\mathbf {r} )={\mu }(\mathbf {r} )\mathbf {H} _{\text{tot}}(\mathbf {r} )} (3-3-1) と書けるものとする。この透磁率は、磁化の概念の”すり替え”に過ぎない概念である。尚、通常は、透磁率は、スカラー値関数と考えてよい場合が多いのだが、その場合は、「対角成分が全部同じ値で、それ以外の成分が0の行列値関数と、スカラー値関数が同一視できる」ことを思い起こせばいい。 さらに、式(3-3-1) で見たような、透磁率（透磁率テンソル）を用いて、 B tot ( r ) = μ ( r ) H tot ( r ) {\displaystyle \mathbf {B} _{\text{tot}}(\mathbf {r} )={\mu }(\mathbf {r} )\mathbf {H} _{\text{tot}}(\mathbf {r} )} (3-3-2) と書き表せ、かつ、μが全点で正則行列（逆行列を持つ）とする。(そう考えても、”あまり”一般性を失わない）逆に言えば、 H tot ( r ) = ν ( r ) B tot ( r ) {\displaystyle \mathbf {H} _{\text{tot}}(\mathbf {r} )={\nu }(\mathbf {r} )\mathbf {B} _{\text{tot}}(\mathbf {r} )} (3-3-3) である。ここで、 ν:=μ-1 (3-3-4) は、各点でμの逆行列を与えるような行列値関数である。即ち、 μ(s) ν(s)=μ(s) μ-1(s)=E3 (3-3-5) を充たすような行列値関数である。（ここでE3は3次の単位行列)である。 これまでの議論では、電流素片や磁気双極子モーメントが作り出した磁束密度/磁場について論じてきたが、式(3-1-2),式（3-2-4）より、このようにして作られた全系の磁場が、磁束保存の式と、アンペールの法則を充たすことが判った。ここからは、逆に、磁束保存の式(3-3-6)と、アンペールの法則(3-3-7)、即ち、 div [ B f c ] = 0 {\displaystyle \operatorname {div} [\mathbf {B} _{fc}]=0} (3-3-6a) div [ B M ] = 0 {\displaystyle \operatorname {div} [\mathbf {B} _{M}]=0} (3-3-6b) div [ B tot ] = 0 {\displaystyle \operatorname {div} [\mathbf {B} _{\text{tot}}]=0} (3-3-6c) rot [ H tot ] = i f c {\displaystyle \operatorname {rot} [\mathbf {H} _{\text{tot}}]={\boldsymbol {i}}_{fc}} (3-3-7) を出発点とし、全系の磁気ベクトルポテンシャル A tot {\displaystyle \mathbf {A} _{\text{tot}}} が充たす微分方程式を導出する。 まず、磁束保存の式 (3-3-6c)は、強制電流に起因する成分 (3-3-6a)、磁化に起因する成分 (3-3-6b)それぞれについて成り立つため、（ポアンカレの補助定理より）それぞれがベクトルポテンシャルを持ち、 rot [ A f c ] = B f c {\displaystyle \operatorname {rot} [\mathbf {A} _{fc}]=\mathbf {B} _{fc}} (3-3-8a) rot [ A M ] = B M {\displaystyle \operatorname {rot} [\mathbf {A} _{M}]=\mathbf {B} _{M}} (3-3-8b) をみたすようなベクトル場 A f c {\displaystyle \mathbf {A} _{fc}} と、 A M {\displaystyle \mathbf {A} _{M}} が存在する。このようなベクトル場 A f c {\displaystyle \mathbf {A} _{fc}} と、 A M {\displaystyle \mathbf {A} _{M}} は、ゲージ不定性を除き一意に定まるが、本記事では、強制電流に起因する成分 A f c {\displaystyle \mathbf {A} _{fc}} は、式(1-1)のものを採用し、と、磁化に起因する成分 A M {\displaystyle \mathbf {A} _{M}} 式(2-1-5）を採用することにする。 全系のベクトルポテンシャルを、 A tot := A M + A f c {\displaystyle \mathbf {A} _{\text{tot}}:=\mathbf {A} _{M}+\mathbf {A} _{fc}} (3-3-9) と定めると、 rot [ A tot ] = B tot {\displaystyle \operatorname {rot} [\mathbf {A} _{\text{tot}}]=\mathbf {B} _{\text{tot}}} (3-3-8c) が成り立つ。これは、(3-3-6c)の、磁束保存の式をベクトルポテンシャルを用いて書いたものに他ならない。 さらに、式(3-3-8c)に、式 (3-3-2)と、アンペールの法則(3-3-7)を考え併せると、 rot [ ν rot [ A ] ] − i f c = 0 {\displaystyle \operatorname {rot} [{\nu }\operatorname {rot} [\mathbf {A} ]]-{\boldsymbol {i}}_{fc}=0} (3-3-10) が得られ、未知のベクトル場BやHが消え、未知のベクトル場はAのみとなる。これを「ベクトルポテンシャルによる静磁場の方程式」（静磁場の支配方程式）という。
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