補助函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/18 07:38 UTC 版)
2つのスカラー場の作用素の反交換関係は、次式によって Δ 1 ( x − y ) {\displaystyle \Delta _{1}(x-y)} 函数を定義する。 ⟨ 0 | { Φ ( x ) , Φ ( y ) } | 0 ⟩ = Δ 1 ( x − y ) {\displaystyle \langle 0|\left\{\Phi (x),\Phi (y)\right\}|0\rangle =\Delta _{1}(x-y)} ここに Δ 1 ( x − y ) = Δ + ( x − y ) + Δ − ( x − y ) {\displaystyle \,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{+}(x-y)+\Delta _{-}(x-y)} である。この式は、 Δ 1 ( x − y ) = Δ 1 ( y − x ) . {\displaystyle \,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{1}(y-x).} を満たす。
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補助函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:04 UTC 版)
分割函数をより扱いやすくする方法のひとつは、補助的な函数 p(k, n) を考えることである。これは少なくとも k 以上の自然数を用いて n を分割する方法の数を数えたもので、各 k に対して分割数を数えれば、次のいずれかの場合を見ればいいことになる。 最小の成分がちょうど k である。 最小の成分が k より真に大きい。 前者に当たる分割の総数は p(k, n − k) である。これをみるには、整数 n − k を少なくとも k よりもサイズの大きい整数への分割を全て一覧したものを考えて、その一覧の各分割に "+ k" することを考えればよい。 このことは、補助的な函数を使って分割数のある種の漸化式を定義することに利用できる。つまり 1 + ∑ k = 1 ⌊ 1 2 n ⌋ p ( k , n − k ) = p ( n ) , {\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {1}{2}}n\rfloor }p(k,n-k)=p(n),} が成立する。ここで、 ⌊ n ⌋ {\displaystyle \lfloor n\rfloor } は床函数である。 後者に当たる分割の総数は p(k +1, n) である。これは各成分が k 以上の分割から、ちょうど k になる成分を含むようなものを除いた結果は、すべての成分が k + 1 以上になっていなければならないことからわかる。 さて、上記の二条件は互いに排他的であるから、n の分割の総数というのは、それぞれの場合をあわせた p(k + 1, n) + p(k, n − k) となっていることがわかる。したがって、再帰的に、補助的な函数を k > n のとき: p(k, n) = 0 k = n のとき: p(k, n) = 1 それ以外: p(k, n) = p(k+1, n) + p(k, n − k) と定める。この函数は少し複雑な挙動を見せる傾向にある。 p(1, 4) = 5 p(2, 8) = 7 p(3, 12) = 9 p(4, 16) = 11 p(5, 20) = 13 p(6, 24) = 16 もともとの分割数 p(n) はちょうど p(1, n) にあたる。 いくつかの値については以下のとおり。 k12345678910n11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 1 0 0 0 0 0 0 0 0 33 1 1 0 0 0 0 0 0 0 45 2 1 1 0 0 0 0 0 0 57 2 1 1 1 0 0 0 0 0 611 4 2 1 1 1 0 0 0 0 715 4 2 1 1 1 1 0 0 0 822 7 3 2 1 1 1 1 0 0 930 8 4 2 1 1 1 1 1 0 1042 12 5 3 2 1 1 1 1 1
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