線形性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/04/25 02:45 UTC 版)
2つの信号の和 v1(t) + v2(t) のフェーザ表示は V1 +V2 である。
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線形性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/16 04:08 UTC 版)
CAPMのベータには一種の線形性がある。金融資産 i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} について、資金を ϕ i , i = 1 , … , n {\displaystyle \phi _{i},i=1,\dots ,n} の比率で投資するポートフォリオを考える。するとこのポートフォリオの収益率 R p {\displaystyle R_{p}} は金融資産 i {\displaystyle i} の収益率を R i {\displaystyle R_{i}} とすれば、以下の式で表される。 R p = ∑ i = 1 n R i ϕ i {\displaystyle R_{p}=\sum _{i=1}^{n}R_{i}\phi _{i}} この時、CAPMが成立しているならば、このポートフォリオの期待収益率 E [ R p ] {\displaystyle E[R_{p}]} について次のような変形が可能である。 E [ R p ] = ∑ i = 1 n E [ R i ] ϕ i = ∑ i = 1 n ( r f + β i m ( E [ R m ] − r f ) ) ϕ i = r f + β p m ( E [ R m ] − r f ) {\displaystyle E[R_{p}]=\sum _{i=1}^{n}E[R_{i}]\phi _{i}=\sum _{i=1}^{n}{\Big (}r_{\mathrm {f} }+\beta _{i\mathrm {m} }{\Big (}E[R_{\mathrm {m} }]-r_{\mathrm {f} }{\Big )}{\Big )}\phi _{i}=r_{\mathrm {f} }+\beta _{p\mathrm {m} }{\Big (}E[R_{\mathrm {m} }]-r_{\mathrm {f} }{\Big )}} ただし、 β p m = ∑ i = 1 n β i m ϕ i = ∑ i = 1 n C o v ( R i , R m ) V a r ( R m ) ϕ i = C o v ( ∑ i = 1 n R i ϕ i , R m ) V a r ( R m ) = C o v ( R p , R m ) V a r ( R m ) {\displaystyle \beta _{p\mathrm {m} }=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i\mathrm {m} }\phi _{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mathrm {Cov} (R_{i},R_{\mathrm {m} })}{\mathrm {Var} (R_{\mathrm {m} })}}\phi _{i}={\frac {\mathrm {Cov} (\sum _{i=1}^{n}R_{i}\phi _{i},R_{\mathrm {m} })}{\mathrm {Var} (R_{\mathrm {m} })}}={\frac {\mathrm {Cov} (R_{p},R_{\mathrm {m} })}{\mathrm {Var} (R_{\mathrm {m} })}}} である。よってまとめると E [ R p ] − r f = β p m ( E [ R m ] − r f ) , β p m = C o v ( R p , R m ) V a r ( R m ) = ∑ i = 1 n β i m ϕ i {\displaystyle E[R_{p}]-r_{\mathrm {f} }=\beta _{p\mathrm {m} }{\Big (}E[R_{\mathrm {m} }]-r_{\mathrm {f} }{\Big )},\quad \beta _{p\mathrm {m} }={\frac {\mathrm {Cov} (R_{p},R_{\mathrm {m} })}{\mathrm {Var} (R_{\mathrm {m} })}}=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i\mathrm {m} }\phi _{i}} が成り立つ。この結果は以下で述べる極めて実用的なインプリケーションを持つ。CAPMの線形性を用いれば、個別株式のベータやポートフォリオの投資比率を特定することなく、ポートフォリオ全体のパフォーマンス(ポートフォリオのリスクプレミアム)を測定することが出来る。よって投資信託などのファンドが報告している収益率実績などからそのファンド(のポートフォリオ)のベータを推定することが可能になる。つまりファンドがCAPMから逸脱した収益を上げているかどうかを限られたデータから調べることが可能になる。この観点に基づきマイケル・ジェンセン（英語版）がジェンセンのアルファと呼ばれる指標を用いて株式の投資信託のパフォーマンスを統計的に検証した論文を1968年に発表している。
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