累乗数とは？わかりやすく解説

累乗数（るいじょうすう、英: perfect power）とは、他の自然数の累乗になっている自然数、すなわち、 $m k$ （ $m, k$ は自然数で $k$ は $2$ 以上）の形の数を指す。

累乗数を $1$ から小さい順に列記すると

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, …（オンライン整数列大辞典の数列 A001597）

累乗数の性質

4 を法として 2 と合同でない数は 2 つの累乗数の差として表される。実際、(n + 1)² − n² = 2n + 1, (n + 2)² − n² = 4n + 4 が成立する。

また、2 = 3³ − 5², 10 = 13³ − 3⁷ など、4 を法として 2 と合同な数（単偶数）に関しても累乗数の差として表せる場合があることが知られている。6, 14, 34 などがそのように表せるかどうかは知られていない。

差が 1 となる累乗数の組は (8, 9) のみであると、1844年にカタラン（英語版） (Eugène Charles Catalan) によって予想され（カタラン予想）、2002年にプレダ・ミハイレスクによって証明された。

一般に、累乗数を小さいほうから a₁ = 1, a₂ = 4, … と並べるとき、a_{i + 1} − a_i は i と共に無限大に発散すると予想されている（Pillai）。この予想は、任意の自然数 a に対して方程式 xⁿ − y^m = a は有限個の自然数解（x > 0, y > 0, m ≥ 2, n ≥ 2）しかないことと同値である。Chudnovsky はこれを証明したと主張したが、本当に証明されたのかは不明である。エルデシュは a_{i + 1} − a_i > i^c となる正の定数 c が存在すると予想している。

方程式 xⁿ − y^m = a（a は与えられた自然数, x > 0, y > 0, m ≥ 2, n ≥ 2）は a のほかにもう一つの変数を固定すれば、有限個の解しか存在しないことが知られている。m, n のいずれかを固定した場合には、Schinzel と Tijdeman の一般的な不定方程式 y^m = P(x) に関する結果から従い、x, y のいずれかを固定した場合には一般の線形循環数列に関する Shorey と Tijdeman の結果から従う。