等積変換行列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/19 15:03 UTC 版)
詳細は「等積変換（英語版）」を参照 まず微分ベクトルの変換 [ d u d v ] = [ p r q s ] [ d x d y ] = [ p d x + r d y q d x + s d y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p&r\\q&s\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}dx\\dy\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p\,dx+r\,dy\\q\,dx+s\,dy\end{bmatrix}}} を行ったとき、面積は「密度」を込めて微分 2-形式 dx ∧ dy（楔積 ∧ は外積代数も参照）で測られるから、この変換の密度 d u ∧ d v = ( det g ) d x ∧ d y {\displaystyle du\wedge dv=(\det g)\ dx\wedge dy} に注意すれば、等積変換の全体は行列式 1 の行列からなる特殊線型群 SL(2, R) = {g ∈ M(2, R) | det(g) = 1} と同一視できる。前節のごとく平面部分環族 Pm を取れば、各 g ∈ SL(2, R) は適当な m に対する可換部分環 Pm に入り、また gg* = I であるから、以下の三者択一: mm = −I であり、g は円周上で定義されたユークリッド回転; mm = I であり、g は双曲線上定義された圧搾変換（英語版）; mm = 0 であり、g は直線上定義された剪断変換。 が成り立つ。 平面アフィン群について Artzy (1965) Linear Geometry は平面線型写像に関する同様の三分律に関して書いている。
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