第2種スターリング数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/20 06:25 UTC 版)
「スターリング数」の記事における「第2種スターリング数」の解説
第2種スターリング数 (en:Stirling numbers of the second kind) { n k } {\displaystyle \{{\textstyle {n \atop k}}\}} は、 x n {\displaystyle x^{n}} を下降階乗冪 x k _ ≡ x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − k + 1 ) {\displaystyle x^{\underline {k}}\equiv x\,(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)} の級数: x n = ∑ k = 0 n { n k } x k _ {\displaystyle x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}\,x^{\underline {k}}} で展開したときの展開係数として定義される。この定義では、 0 ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq k\leq n} である。便宜上、 { 0 0 } = 1 {\displaystyle \{{\textstyle {0 \atop 0}}\}=1} と定義する。第2種スターリング数は { n k } = { n − 1 k − 1 } + k { n − 1 k } {\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}=\left\{{n-1 \atop k-1}\right\}+k\,\left\{{n-1 \atop k}\right\}} なる漸化式で計算できる。この漸化式は、上記の級数展開による定義から導出できる。その漸化式にしたがうと、第2種スターリング数は下表のよう計算される。 n ＼ k0123456701 10 1 20 1 1 30 1 3 1 40 1 7 6 1 50 1 15 25 10 1 60 1 31 90 65 15 1 70 1 63 301 350 140 21 1 第2種スターリング数 { n k } {\displaystyle \{{\textstyle {n \atop k}}\}} は、第1種スターリング数に符号補正を施した ( − 1 ) n + k [ n k ] {\displaystyle (-1)^{n+k}[{\textstyle {n \atop k}}]} に対して逆行列の関係、すなわち、 ∑ k = 0 N ( − 1 ) n + k [ n k ] { k m } = δ n m {\displaystyle \sum _{k=0}^{N}(-1)^{n+k}\left[{n \atop k}\right]\,\left\{{k \atop m}\right\}=\delta _{nm}} の関係を満たす。ただし、 N ≥ n , m {\displaystyle N\geq n,m} とする。 また、 δ n m {\displaystyle \delta _{nm}} はクロネッカーのデルタである。この関係は、 x n {\displaystyle x^{n}} を下降階乗冪 x k _ {\displaystyle x^{\underline {k}}} で展開した数式に対し、 x k _ {\displaystyle x^{\underline {k}}} を x {\displaystyle x} のべき級数で展開すれば導出できる。 べき乗 x n {\displaystyle x^{n}} は 上昇階乗冪 x k ¯ {\displaystyle x^{\overline {k}}} で展開した場合も、第2種スターリング数を含む展開係数をともなう。その展開した結果は、 x n = ∑ k n ( − 1 ) n + k { n k } x k ¯ {\displaystyle x^{n}=\sum _{k}^{n}(-1)^{n+k}\left\{{n \atop k}\right\}\,x^{\overline {k}}} となり、展開係数は第2種スターリング数に符号補正 ( − 1 ) n + k {\displaystyle (-1)^{n+k}} を施した値である。この展開式は、 x k _ = ( − 1 ) k ( − x ) k ¯ {\displaystyle x^{\underline {k}}=(-1)^{k}(-x)^{\overline {k}}} であることに注意すれば導出できる。
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