第2種スターリング数の性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/20 06:25 UTC 版)
「スターリング数」の記事における「第2種スターリング数の性質」の解説
∑ k = 1 n ( − 1 ) k ( k − 1 ) ! { n k } = 0 ( n ≥ 2 ) , ∑ k = 0 n ( − 1 ) n + k k ! { n k } = 1 , ∑ k = 0 n ( − 1 ) n + k ( k + 1 ) ! { n k } = 2 n {\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}(k-1)!\left\{{n \atop k}\right\}=0\quad \quad (n\geq 2),\\&\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}k!\left\{{n \atop k}\right\}=1,\\&\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}(k+1)!\left\{{n \atop k}\right\}=2^{n}\end{aligned}}} 第1の関係式は第2種スターリング数の漸化式から導出できる。第2の関係式は、 ( − 1 ) k _ = ( − 1 ) k k ! {\displaystyle (-1)^{\underline {k}}=(-1)^{k}k!} であることから導出できる。第3の関係式は ( − 2 ) k _ = ( − 1 ) k ( k + 1 ) ! {\displaystyle (-2)^{\underline {k}}=(-1)^{k}(k+1)!} から導出できる。 第2種スターリング数もベルヌーイ数との関係を示すことができる。 B k − 1 = ∑ m = 1 k ( − 1 ) k + m ( m − 1 ) ! m { k m } , B k = ∑ m = 0 k ( − 1 ) m m ! m + 1 { k m } {\displaystyle {\begin{aligned}&B_{k-1}=\sum _{m=1}^{k}(-1)^{k+m}{\frac {(m-1)!}{m}}\left\{{k \atop m}\right\},\\&B_{k}=\sum _{m=0}^{k}(-1)^{m}{\frac {m!}{m+1}}\left\{{k \atop m}\right\}\end{aligned}}} 第1の関係式は、第1種スターリング数とベルヌーイ数の関係式から導出できる。第2の関係式は、第1の関係式に第2種スターリング数の漸化式を適用すれば導出できる。さらに、第2種スターリング数は公式: { n k } = 1 k ! ∑ m = 1 k ( − 1 ) k − m ( k m ) m n {\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{m=1}^{k}(-1)^{k-m}\left({k \atop m}\right)m^{n}} によって一般項が計算できる。しかし、この公式も総和記号を含んでいるため、漸化式よりも便利な公式とは言いがたいが、この公式をベルヌーイ数との関係式（第2の関係式）に代入すればベルヌーイ数の一般項を得ることができる。
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