第1種スターリング数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/20 06:25 UTC 版)
「スターリング数」の記事における「第1種スターリング数」の解説
第1種スターリング数 (en:Stirling numbers of the first kind) [ n k ] {\displaystyle [{\textstyle {n \atop k}}]} は、上昇階乗冪 x n ¯ ≡ x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋯ ( x + n − 1 ) {\displaystyle x^{\overline {n}}\equiv x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)} を x {\displaystyle x} のべき級数: x n ¯ = ∑ k = 0 n [ n k ] x k {\displaystyle x^{\overline {n}}=\sum _{k=0}^{n}\left[{n \atop k}\right]\,x^{k}} で表現したときの展開係数として定義される。この定義では 0 ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq k\leq n} である。また、便宜上 [ 0 0 ] = 1 {\displaystyle [{\textstyle {0 \atop 0}}]=1} と定義する。第1種スターリング数は、 [ n k ] = [ n − 1 k − 1 ] + ( n − 1 ) [ n − 1 k ] {\displaystyle \left[{n \atop k}\right]=\left[{n-1 \atop k-1}\right]+(n-1)\,\left[{n-1 \atop k}\right]} なる漸化式で計算できる。この漸化式は、べき級数の展開係数としての定義から導出できる。第1種スターリング数の中で、簡単な数式で書ける成分として、 [ n 0 ] = 0 , [ n 1 ] = ( n − 1 ) ! , [ n n − 1 ] = ( n 2 ) , [ n n ] = 1 {\displaystyle \left[{n \atop 0}\right]=0,\quad \left[{n \atop 1}\right]=(n-1)!,\quad \left[{n \atop n-1}\right]=\left({n \atop 2}\right),\quad \left[{n \atop n}\right]=1} が挙げられる。なお、 ( n 2 ) {\displaystyle ({\textstyle {n \atop 2}})} は二項係数（二項定理 参照）である。これらは上記の漸化式を用いれば証明できる。特に、第1の関係式は、 0 n ¯ = 0 {\displaystyle 0^{\overline {n}}=0} であることから導くこともできる。上に示した漸化式にしたがい、第1種スターリング数は下表のように計算される。なお、表中の空欄に位置する数値はゼロであると解釈する。 n ＼ k0123456701 10 1 20 1 1 30 2 3 1 40 6 11 6 1 50 24 50 35 10 1 60 120 274 225 85 15 1 70 720 1764 1624 735 175 21 1 下降階乗冪 x n _ ≡ x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n + 1 ) {\displaystyle x^{\underline {n}}\equiv x\,(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)} も第1種スターリング数を含む展開係数をともない、 x {\displaystyle x} のべき級数で表現できる。具体的には、 x n _ = ∑ k = 0 n ( − 1 ) n + k [ n k ] x k {\displaystyle x^{\underline {n}}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\left[{n \atop k}\right]\,x^{k}} と書けるので、展開係数は第1種スターリング数に符号補正 ( − 1 ) n + k {\displaystyle (-1)^{n+k}} を施した値である。この展開式は、 x n _ = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n + 1 ) = ( − 1 ) n ⋅ ( − x ) ( − x + 1 ) ( − x + 2 ) ⋯ ( − x + n − 1 ) = ( − 1 ) n ( − x ) n ¯ {\displaystyle {\begin{aligned}x^{\underline {n}}&=x\,(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)\\&=(-1)^{n}\cdot (-x)(-x+1)(-x+2)\cdots (-x+n-1)\\&=(-1)^{n}\,(-x)^{\overline {n}}\end{aligned}}} であることに注意すれば容易に証明できる。
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