第 1 種スターリング数の性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/20 06:25 UTC 版)
「スターリング数」の記事における「第 1 種スターリング数の性質」の解説
∑ k = 0 n [ n k ] = n ! , ∑ k = 0 n 2 k [ n k ] = ( n + 1 ) ! , ∑ k = 0 n ( − 1 ) k [ n k ] = 0 ( n ≥ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{n}\left[{n \atop k}\right]=n!,\\&\sum _{k=0}^{n}2^{k}\left[{n \atop k}\right]=(n+1)!,\\&\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\left[{n \atop k}\right]=0\quad (n\geq 2)\end{aligned}}} 第1の関係式は、 1 n ¯ = n ! {\displaystyle 1^{\overline {n}}=n!} から導かれる。第 2 の関係式は 2 n ¯ = ( n + 1 ) ! {\displaystyle 2^{\overline {n}}=(n+1)!} から導かれる。第3の関係式は n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} に関して、 ( − 1 ) n ¯ = 0 {\displaystyle (-1)^{\overline {n}}=0} であることから導かれる。 第1種スターリング数はベルヌーイ数 B k {\displaystyle B_{k}} と次のような関係がある。 1 m ! ∑ k = 0 m [ m + 1 k + 1 ] B k = 1 m + 1 , 1 ( m − 1 ) ! ∑ k = 0 m [ m k ] B k = − 1 m + 1 ( m ≥ 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}\left[{m+1 \atop k+1}\right]\,B_{k}={\frac {1}{m+1}},\\&{\frac {1}{(m-1)!}}\sum _{k=0}^{m}\left[{m \atop k}\right]\,B_{k}=-{\frac {1}{m+1}}\quad (m\geq 1).\end{aligned}}} 第1の関係式は、上昇階乗冪の和の公式: ∑ k = 0 n − 1 ( k + 1 ) m ¯ = n m + 1 ¯ m + 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}(k+1)^{\overline {m}}={\frac {n^{\overline {m+1}}}{m+1}}} から導くことができる。第2の関係式は、第1の関係式に第1種スターリング数の漸化式を適用すれば導かれる。
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