第1種及び第2種ベッセル関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/01 02:20 UTC 版)
「ベッセル関数」の記事における「第1種及び第2種ベッセル関数」の解説
これらの関数が、ベッセル関数群としては、最も一般的な形式である。 第1種ベッセル関数 第1種ベッセル関数は J α ( x ) {\displaystyle \displaystyle J_{\alpha }(x)} と表記される。 J α ( x ) {\displaystyle \displaystyle J_{\alpha }(x)} はベッセルの微分方程式の解であり、 α {\displaystyle \displaystyle \alpha } が整数もしくは非負であるとき、 x = 0 {\displaystyle \displaystyle x=0} で有限の値をとる。 J α {\displaystyle \displaystyle J_{\alpha }} における、特定解の選択及び正規化は定義された後に、後述する。第1種ベッセル関数はまた、 x = 0 {\displaystyle \displaystyle x=0} のまわりでのテイラー展開（非整数の α {\displaystyle \displaystyle \alpha } に対しては、より一般にべき級数展開）によって定義することもできる。 J α ( x ) = ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m m ! Γ ( m + α + 1 ) ( x 2 ) 2 m + α {\displaystyle \displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha }} 非整数の α {\displaystyle \displaystyle \alpha } に対しては、 J α ( x ) {\displaystyle \displaystyle J_{\alpha }(x)} と J − α ( x ) {\displaystyle \displaystyle J_{-\alpha }(x)} とが、ベッセルの微分方程式に対する線形独立な2つの解を与える。整数の α {\displaystyle \displaystyle \alpha } に対してはこれらは線形独立な解を与えない。なぜなら、整数 n {\displaystyle \displaystyle n} に対して、 J n ( x ) {\displaystyle \displaystyle J_{n}(x)} と J − n ( x ) {\displaystyle \displaystyle J_{-n}(x)} とのあいだには関係 J − n ( x ) = ( − 1 ) n J n ( x ) {\displaystyle \displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x)} が成り立ち、両者は明らかに線形従属となるからである。整数次数に対して J n ( x ) {\displaystyle \displaystyle J_{n}(x)} と線形独立な第二の解は、以下の第2種ベッセル関数によって与えられる。 第2種ベッセル関数 第2種ベッセル関数は Y α ( x ) {\displaystyle \displaystyle Y_{\alpha }(x)} と表記される。 Y α ( x ) {\displaystyle \displaystyle Y_{\alpha }(x)} はやはりベッセルの微分方程式の解であり、 x = 0 {\displaystyle \displaystyle x=0} において特異性をもつ。また、 Y α ( x ) {\displaystyle \displaystyle Y_{\alpha }(x)} は、しばしばノイマン関数とも呼ばれ、 N α ( x ) {\displaystyle \displaystyle N_{\alpha }(x)} とも表記される。第1種ベッセル関数 J α ( x ) {\displaystyle \displaystyle J_{\alpha }(x)} との関係は、 Y α ( x ) = J α ( x ) cos ( α π ) − J − α ( x ) sin ( α π ) {\displaystyle \displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}} で与えられる。ただし、 α {\displaystyle \displaystyle \alpha } が整数のときは右辺は極限によって定義されるものとする。 非整数の α {\displaystyle \displaystyle \alpha } に対しては、 J α ( x ) {\displaystyle \displaystyle J_{\alpha }(x)} と J − α ( x ) {\displaystyle \displaystyle J_{-\alpha }(x)} とが線形独立な2つの解をすでに与えているので、 Y α ( x ) {\displaystyle \displaystyle Y_{\alpha }(x)} は解の表現としては冗長である。整数 n {\displaystyle \displaystyle n} に対しては、 Y n ( x ) {\displaystyle \displaystyle Y_{n}(x)} は J n ( x ) {\displaystyle \displaystyle J_{n}(x)} と線形独立な第二の解を与えている。 整数 n {\displaystyle \displaystyle n} に対して、 Y n ( x ) {\displaystyle \displaystyle Y_{n}(x)} と Y − n ( x ) {\displaystyle \displaystyle Y_{-n}(x)} とのあいだには関係 Y − n = ( − 1 ) n Y n ( x ) {\displaystyle \displaystyle Y_{-n}=(-1)^{n}Y_{n}(x)} が成り立ち、したがって両者はやはり線形従属である。 J α ( x ) {\displaystyle \displaystyle J_{\alpha }(x)} 及び Y α ( x ) {\displaystyle \displaystyle Y_{\alpha }(x)} はどちらも、負の実軸を除く複素平面上で x {\displaystyle \displaystyle x} の解析的な関数（正則な関数）である。 α {\displaystyle \displaystyle \alpha } が正の整数のとき、これらの関数は負の実軸上に分岐点を持たず、したがって x {\displaystyle \displaystyle x} の整関数となる。また、固定した x {\displaystyle \displaystyle x} に対して、ベッセル関数は α {\displaystyle \displaystyle \alpha } の整関数となる。 第1種ベッセル関数 第2種ベッセル関数
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