総和記号とは？わかりやすく解説

数学において、総和（そうわ、summation）とは、与えられた複数の数を全て足した和のことである。与えられた数たちの間に和の交換法則、結合法則が成り立てば、それらの総和は一意に決まる。

概説

有限個の数を加えるためには 2 つの数を加えるという操作を帰納的に繰り返せばよく、加法については交換法則が成り立つので、このとき数を加える順序は気にする必要もない。一方で、無限個の数を加えるということはそれほど自明な操作ではない。18世紀以前には、無限個の和に対しても有限和と同じように、加える順序について放漫に扱われる傾向にあり、奇妙な矛盾を結果として導いてしまうこともたびたびあったようである。

無限和についての正しい取り扱いは、ディリクレ、リーマン、コーシーといった数学者によって極限の概念が整備される19世紀を待たなければならなかった^[1]。

定義

総和は、加法が定義された集合 $M$ の元の列 $x 1, x 2, \dots, x n$ に対する $n$ 項演算（ $n$ は順序数）である。それは、再帰的に次のように定義される。

$s 1 = x 1,$
$s i = s i -1 + x i (i =1, 2, \dots, n)$

こうして得られる $s i$ は $i$ 番目の部分和 (partial sum) と呼ばれる^{[注 1]}。 $n$ が有限であれば、この操作は有限回で終了し、 $x 1, x 2, \dots, x n$ の総和は部分和 $s n$ に等しい。これを

s_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}

ドイツ

[1]

[注 1]

演算の結果
加法 (+)
$項 + 項 = 和$ $加法因子 + 加法因子 = 和$ $被加数 + 加数 = 和$
減法 (-)
$被減数 - 減数 = 差$
乗法 (×)
$因数 \times 因数 = 積$ $被乗数 \times 乗数 = 積$ $被乗数 \times 倍率 = 積$
除法 (÷)
$被除数 \div 除数 = 商$ $被約数 \div 約数 = 商$ $実 \div 法 = 商$ $分子 / 分母 = 商$
剰余算 (mod)
$被除数 mod 除数 = 剰余$ $被除数 mod 法 = 剰余$
冪 (^)
$底冪指数 = 冪$
冪根 (√)
$次数 \sqrt 被開方数 = 冪根$
対数 (log)
$log 底 (真数) = 対数$
表話編歴

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