立体座標系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/03 11:31 UTC 版)
もう一つ便利な座標系が、S3 の極点からそれに対応する赤道超平面となる R3 への立体射影から得られる。例えば、点 (−1, 0, 0, 0) からの射影により、S3 上の各点 p は p := ( 1 − ‖ u ‖ 2 1 + ‖ u ‖ 2 , 2 u 1 + ‖ u ‖ 2 ) = 1 + u 1 − u {\displaystyle p:=\left({\frac {1-\|u\|^{2}}{1+\|u\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {u} }{1+\|u\|^{2}}}\right)={\frac {1+\mathbf {u} }{1-\mathbf {u} }}} なる形に書くことができる。ただし、u = (u1, u2, u3) は R3 のベクトルで ‖ u ‖2 = u 21 + u 22 + u 23 である。上記の二つ目の等号は、p を単位四元数と同一視し、また u を純虚四元数 u1i + u2j + u3k と同一視してのものである（四元数の乗法は一般に非可換だが、上記の式における分母分子は可換であることに注意）。この射影の逆写像は S3 上の点 p = (x0, x1, x2, x3) を u := 1 1 + x 0 ( x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle \mathbf {u} :={\frac {1}{1+x_{0}}}(x_{1},x_{2},x_{3})} へ写す。 点 (1, 0, 0, 0) からの射影も同様に考えることができて、この場合は点 p が R3 の別のベクトル v = (v1, v2, v3) を用いて p := ( − 1 + ‖ v ‖ 2 1 + ‖ v ‖ 2 , 2 v 1 + ‖ v ‖ 2 ) = − 1 + v 1 + v {\displaystyle p:=\left({\frac {-1+\|v\|^{2}}{1+\|v\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {v} }{1+\|v\|^{2}}}\right)={\frac {-1+\mathbf {v} }{1+\mathbf {v} }}} の形に与えられる。逆写像は p を v := 1 1 − x 0 ( x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle \mathbf {v} :={\frac {1}{1-x_{0}}}(x_{1},x_{2},x_{3})} に写す。 u-座標は (−1, 0, 0, 0) を各点で定義され、v-座標は (1, 0, 0, 0) を除く各点で定義されることに注意せよ。これらにより S3 上の二つの座標チャート（この二つを合わせると S3 の全域がカバーできる）からなるアトラスが定まる。これら二つのチャートが重なる部分における局所座標の間の座標変換は v = 1 ‖ u ‖ 2 u {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{\|u\|^{2}}}\mathbf {u} } およびこの式の u と v の役割を入れ替えたもので与えられることに注意。
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