短絡的な「証明」の誤りに関する注意とは? わかりやすく解説

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短絡的な「証明」の誤りに関する注意

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/04/19 10:23 UTC 版)

ケイリー・ハミルトンの定理」の記事における「短絡的な「証明」の誤りに関する注意」の解説

この定理証明するのに、固有多項式: p ( λ ) = det ( λ I n − A ) {\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)} (1) の λ を A に置き換えて p ( A ) = det ( A I n − A ) = det ( A − A ) = 0 {\displaystyle p(A)=\det(AI_{n}-A)=\det(A-A)=0} (error) を得るとするのは、明らかに誤った論法である。 この論法誤りである理由は、第一に、上式 error左辺は n次正方行列右辺スカラーである 0 であり、(n = 1 でない限り不合理である。 第二に、(1)右辺の λ はスカラーだからこそ行列式として意味をもつものであり、行列式の展開の前に λ を A に置き換えると意味をなさなくなる。 様子分かるように具体的に 2次場合をとらえると、 p ( λ ) = | λ − a − b − c λ − d | {\displaystyle p(\lambda )={\begin{vmatrix}\lambda -a&-b\\-c&\lambda -d\end{vmatrix}}} の λ を A = ( a b c d ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} に置き換えても、行列式としての意味をなさなくなることが分かる。 ただし、スカラーであるところをスカラー行列単位行列スカラー倍)で置き換えた区分行列 ( ( a b c d ) − a I 2 − b I 2 − c I 2 ( a b c d ) − d I 2 ) = ( 0 b − b 0 c da 0 − b − c 0 a − d b 0 − c c 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}-aI_{2}&-bI_{2}\\-cI_{2}&{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}-dI_{2}\end{pmatrix}}=\left({\begin{array}{cc|cc}0&b&-b&0\\c&d-a&0&-b\\\hline -c&0&a-d&b\\0&-c&c&0\end{array}}\right)} を考えるならば式としては有効で、この行列式実際に 0 になるが、この行列上記論法で det の引数とした AIn − A でないことは明らかである。 あるいはまた、この論法実際に成立していたと仮定した場合、それは行列式以外にもほかの任意の多重線型形式についても成立しないといけないことになる(つまり任意の線型写像零ベクトル零ベクトルに写すのだから、AInA = O零行列)は任意の多重線型形式で 0 に写る)。そのような多重線型形式として例えパーマネント (permanent)を使って q(λ) := perm(λ⋅In − A) とすれば、同じ論法で q(A) = 0 が証明されなければならないわけだが、それは見るから誤りである。実例として 2次場合書けばperm ⁡ ( a b c d ) = a d + b c {\displaystyle \operatorname {perm} {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad+bc} であるから、 q ( λ ) = perm ⁡ ( λ I 2 − A ) = λ 2 − ( a + d ) λ + ( a d + b c ) {\displaystyle q(\lambda )=\operatorname {perm} (\lambda I_{2}-A)=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +(ad+bc)} であり、これに A を代入した q ( A ) = A 2 − ( a + d ) A + ( a d + b c ) I 2 = ( 2 b c 0 0 2 b c ) {\displaystyle q(A)=A^{2}-(a+d)A+(ad+bc)I_{2}={\begin{pmatrix}2bc&0\\0&2bc\end{pmatrix}}} は一般にでない。 ケイリー・ハミルトンの定理の証明中には、数以外を成分とする行列用いてあたかも error 式を用いた論法ある意味似た方法をとるものがあるが、その場合でも AIn は A と等しくなく、結論異な所へ到達する

※この「短絡的な「証明」の誤りに関する注意」の解説は、「ケイリー・ハミルトンの定理」の解説の一部です。
「短絡的な「証明」の誤りに関する注意」を含む「ケイリー・ハミルトンの定理」の記事については、「ケイリー・ハミルトンの定理」の概要を参照ください。

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