汎関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/06 04:53 UTC 版)
詳細は「汎函数」を参照 関数を変数に取る関数はとくに汎関数 (functional) と呼ばれる。特にある集合上の関数の作るベクトル空間から係数体への線型写像を線型汎関数 (linear functional) という。文脈によっては単に汎関数といえば線型汎関数を指すこともある。たとえば積分 F ( f ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x {\displaystyle F(f)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx} は可積分関数 f を変数と見なして様々に取り替えることによって汎関数 F を与える。積分は線型性を持つから、F は線型汎関数である。 有限個の変数の組を考えることも関数の一種であったから、汎関数 F ( f ) = F ( f ( x ) ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f)={\mathcal {F}}(f(x))} はひとつまたは複数のパラメータで添字付けられる一般には無限個の変数をもつ関数の一種 F ( ( f x ) x ∈ R ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\left((f_{x})_{x\in \mathbb {R} }\right)} と見なすことができる。また、有限次元ベクトル空間は基底を固定することにより、その座標で表される係数体の有限個の直積と同型であるから、そこからの汎関数は多変数関数 F ( x 1 , x 2 , x 3 , … , x n ) {\displaystyle F(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})} と同一視できる。 関数に対して数を対応付けるという汎関数の概念は、さらに関数に関数を対応付ける作用素の概念に一般化される。
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