気体の定常流の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/12 10:23 UTC 版)
「ベルヌーイの定理」の記事における「気体の定常流の場合」の解説
気体の運動では、重力が無視でき、また、運動の時間スケールが熱伝導の時間スケールに比べて十分小さく断熱過程と見なせる場合が多い。このときポアソンの法則により p ∝ ρ γ {\displaystyle p\propto \rho ^{\gamma }} （ γ = C p / C v {\displaystyle \gamma =C_{p}/C_{v}} は比熱比)とできるので、ベルヌーイの定理は 断熱過程に従う非粘性気体の定常な流れでは、流線上で v 2 2 + ( γ γ − 1 ) p ρ = ( γ γ − 1 ) p s ρ s {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}=\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p_{s}}{\rho _{s}}}} が、成り立つ。ただし、 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} は速度ベクトル、 p {\displaystyle p} は圧力、 ρ {\displaystyle \rho } は密度、 γ = C p / C v {\displaystyle \gamma =C_{p}/C_{v}} は比熱比、 p s , ρ s {\displaystyle p_{s},\rho _{s}} はよどみ点における圧力と密度である。 と書き換えられる。 音速の定義 a = γ ( p / ρ ) {\displaystyle a={\sqrt {\gamma \left({p/\rho }\right)}}} を用いれば、ベルヌーイの定理は v = 2 γ − 1 ( a s 2 − a 2 ) {\displaystyle v={\sqrt {{\frac {2}{\gamma -1}}(a_{s}^{2}-a^{2})}}} が流線上で成り立つ。(as はよどみ点における音速) となる。 真空では a =0 となるので、そのとき流速は最大値 v m a x = 2 γ − 1 a s {\displaystyle v_{max}={\sqrt {\frac {2}{\gamma -1}}}a_{s}} に到達する。例えば、大きな容器に封入された気体が器壁の小さな孔から真空中に噴出する場合の流速がそれにあたる。容器の中が1気圧、15℃の空気の場合、 γ = 1.4 , a s = 340 m / s {\displaystyle \gamma =1.4,a_{s}=340m/s} であるから、 v m a x = 760 m / s {\displaystyle v_{max}=760m/s} となる。
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