残差方程式の取り扱いと代数方程式の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/19 10:04 UTC 版)
「境界要素法」の記事における「残差方程式の取り扱いと代数方程式の導出」の解説
上で示した近似関数を境界積分方程式に代入すると、次の残差方程式を得る。 R ( ξ ) := c ( ξ ) u ~ ( ξ ) + ∫ Γ q ∗ ( x ; ξ ) u ~ ( x ) d Γ x − ∫ Γ u ∗ ( x ; ξ ) q ~ ( x ) d Γ x ≠ 0. {\displaystyle R({\boldsymbol {\xi }}):=c({\boldsymbol {\xi }}){\tilde {u}}({\boldsymbol {\xi }})+\int _{\Gamma }q^{*}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }}){\tilde {u}}({\boldsymbol {x}})d\Gamma _{x}-\int _{\Gamma }u^{*}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }}){\tilde {q}}({\boldsymbol {x}})d\Gamma _{x}\neq 0.} 近似関数をN 個の補間関数を用いて定義したことに注意して、残差方程式に対して次のいずれかの条件を課し、N 個の（積分）方程式を導出する。 境界上にN 個の代表点（選点）ξi (i = 1, 2, ... , N ) を置き、この各点で残差について R ( ξ i ) = 0 {\displaystyle R({\boldsymbol {\xi }}_{i})=0} であることを求める（選点法）。 N 個の補間関数φi (i = 1, 2, ... , N ) と残差方程式との境界積分を考え、各々が全て 0 となることを求める（ガラーキン法（英語版））。 境界要素法では、前者の選点法を採用して離散化を進めるのが一般的である。その結果、 R ( ξ i ) = ∑ j = 1 N [ c ( ξ i ) ϕ j ( ξ i ) + ∫ Γ q ∗ ( x ; ξ i ) ϕ j ( x ) d Γ x ] U j − ∑ j = 1 N [ ∫ Γ u ∗ ( x ; ξ i ) ϕ j ( x ) d Γ x ] Q j = 0 , {\displaystyle R({\boldsymbol {\xi }}_{i})=\sum _{j=1}^{N}\left[c({\boldsymbol {\xi }}_{i})\phi _{j}({\boldsymbol {\xi }}_{i})+\int _{\Gamma }q^{*}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }}_{i})\phi _{j}({\boldsymbol {x}})d\Gamma _{x}\right]U_{j}-\sum _{j=1}^{N}\left[\int _{\Gamma }u^{*}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }}_{i})\phi _{j}({\boldsymbol {x}})d\Gamma _{x}\right]Q_{j}=0,} ここで、 G i j = ∫ Γ u ∗ ( x ; ξ i ) ϕ j ( x ) d Γ , H i j = c ( ξ i ) ϕ j ( ξ i ) + ∫ Γ q ∗ ( x ; ξ i ) ϕ j ( x ) d Γ x {\displaystyle G_{ij}=\int _{\Gamma }u^{*}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }}_{i})\phi _{j}({\boldsymbol {x}})d\Gamma ,\quad H_{ij}=c({\boldsymbol {\xi }}_{i})\phi _{j}({\boldsymbol {\xi }}_{i})+\int _{\Gamma }q^{*}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }}_{i})\phi _{j}({\boldsymbol {x}})d\Gamma _{x}} とおくと、次のN 元の代数方程式を得る。 ∑ j = 1 N H i j U j = ∑ j = 1 N G i j Q j , ( i = 1 , 2 , … , N ) {\displaystyle \sum _{j=1}^{N}H_{ij}U_{j}=\sum _{j=1}^{N}G_{ij}Q_{j},\quad \quad (i=1,2,\ldots ,N)} なお、解の一意性が保証される場合では、境界値Uj , Qj はどちらか一方が未知で、もう一方が既知である。そのため、未知境界値をまとめてXj 、未知境界値に乗じられている係数をAij 、既知境界値と係数成分との乗算結果をまとめてbi で表すと、次の連立一次方程式を得る。 ∑ j = 1 N A i j X j = b i , ( i = 1 , 2 , … , N ) {\displaystyle \sum _{j=1}^{N}A_{ij}X_{j}=b_{i},\quad \quad (i=1,2,\ldots ,N)} この式を解くことで、境界上のポテンシャルとフラックスが近似的に得られることになる。
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