様相論理の公理系とは? わかりやすく解説

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様相論理の公理系

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/02/24 05:07 UTC 版)

様相論理」の記事における「様相論理の公理系」の解説

様相論理には様々な公理系考えられており、どのような公理系が妥当なのかはそれ自体論争の的である。二つ様相演算子のあいだにド・モルガンの法則的な関係が成立することは、どの公理系でも共通している。□は必然性演算子、◇は可能性演算子である。 ◻ p ↔ ¬ ◊ ¬ p {\displaystyle \Box p\leftrightarrow \neg \Diamond \neg p} ◊ p ↔ ¬ ◻ ¬ p {\displaystyle \Diamond p\leftrightarrow \neg \Box \neg p} 即ち、「必然的に真」は「偽である可能性がない」と同等であり、「真である可能性がある」は「必然的に偽であるわけではない」と同等である。様相論理としての最低限の定義 ◇p=¬□¬p のみを満たす最小公理系としては、E という公理系知られている。これは古典命題論理に以下の推論規則加えたのである推論規則 : φ ↔ ψ {\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi } が成り立つならば、 ◻ φ ↔ ◻ ψ {\displaystyle \Box \varphi \leftrightarrow \Box \psi } も成り立つ。 この公理系 E より「強い」すべての公理系は、Classical公理系呼ばれるしかしながら、真と認めるべきかどうか直感的に明らかでない論理式多く作ることができる。例えば「必然的に真ならば必然的に必然的に真」である」と言えるかどうか、即ち □p→□□p が成り立つのかどうかは、はっきりしない。こういった定理認めか否かによって、様々な公理系生まれる。 必然規則満たす公理系Normal公理系)の中で、最も「小さな公理系として知られているのは、クリプキによる K という公理系である。K の公理系に更に公理付け加えることにより、様々な様相論理得られる

※この「様相論理の公理系」の解説は、「様相論理」の解説の一部です。
「様相論理の公理系」を含む「様相論理」の記事については、「様相論理」の概要を参照ください。

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