様相論理との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 04:07 UTC 版)
直観主義命題論理の論理式は次のように様相命題論理S4の論理式に翻訳できる： ⊥ ∗ {\displaystyle \bot ^{*}} = ⊥ {\displaystyle \ \bot } A ∗ {\displaystyle A^{*}} = ◻ A if A is prime (a positive literal) {\displaystyle \ \Box A\qquad {\hbox{if }}A{\hbox{ is prime (a positive literal)}}} ( A ∧ B ) ∗ {\displaystyle (A\wedge B)^{*}} = A ∗ ∧ B ∗ {\displaystyle \ A^{*}\wedge B^{*}} ( A ∨ B ) ∗ {\displaystyle (A\vee B)^{*}} = A ∗ ∨ B ∗ {\displaystyle \ A^{*}\vee B^{*}} ( A → B ) ∗ {\displaystyle (A\rightarrow B)^{*}} = ◻ ( A ∗ → B ∗ ) {\displaystyle \ \Box (A^{*}\rightarrow B^{*})} ( ¬ A ) ∗ {\displaystyle (\neg A)^{*}} = ◻ ( ¬ ( A ∗ ) ) since ¬ A := A → ⊥ {\displaystyle \ \Box (\neg (A^{*}))\qquad {\hbox{since }}\neg A:=A\rightarrow \bot } またこれにより直観主義論理を模倣できる。すなわち翻訳された論理式が様相命題論理S4で妥当であることと、翻訳前の論理式が直観主義命題論理IPCで妥当であることは同値である。上のような変換はゲーデル＝マッキンゼー＝タルスキ変換と呼ばれる。 様相論理S4の直観主義版は構成的様相論理CS4と呼ばれる。
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