曲面の媒介表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/25 05:51 UTC 版)
詳細は「曲面の媒介表示（英語版）」を参照 媒介付けられた曲面（短く、媒介曲面）は、ユークリッド平面（典型的には R2）の開部分集合の位相空間（よくあるのは、次元が 3 以上のユークリッド空間）への連続函数による像を言う。この函数は連続的微分可能と仮定するのが通例であり、本項でも常にそのように仮定する。 より具体的に、R3 内の媒介曲線は、媒介変数と呼ばれる二つの変数 u, v に関する函数の三つ組 { x = f 1 ( u , v ) y = f 2 ( u , v ) z = f 3 ( u , v ) {\displaystyle {\begin{cases}x=f_{1}(u,v)\\y=f_{2}(u,v)\\z=f_{3}(u,v)\end{cases}}} として与えられる。ただし、そのような函数の像が曲線になることが起こり得る（例えば、三つの函数すべてが v に関して定数のときはそうである）から、更なる条件を課す必要があり、それは一般にヤコビ行列 ( ∂ f 1 ∂ u ∂ f 1 ∂ v ∂ f 2 ∂ u ∂ f 2 ∂ v ∂ f 3 ∂ u ∂ f 3 ∂ v ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial u}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial u}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial v}}\\{\frac {\partial f_{3}}{\partial u}}&{\frac {\partial f_{3}}{\partial v}}\end{pmatrix}}} が媒介変数のほとんど全ての値に対して階数 2 であるという形に述べることができる。ここで「ほとんど全て」というのは、階数 2 となる値の集合が媒介表示の変域の稠密開部分集合を含むという意味で言う。高次元空間内の曲面の場合も、ヤコビ行列の列の数が違うだけで、同じ形に条件を述べることができる。
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