時間変動の解析
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/11 05:04 UTC 版)
実効抗力を導入することによって、上と同じ特性を説明することもできる。時刻 t = t0 + dt における電子の平均運動量は以下のように表わせる。 ⟨ p ( t 0 + d t ) ⟩ = ( 1 − d t τ ) ( ⟨ p ( t 0 ) ⟩ + q E d t ) {\displaystyle \langle {\boldsymbol {p}}(t_{0}+\mathrm {d} t)\rangle =\left(1-{\frac {\mathrm {d} t}{\tau }}\right)\left(\langle {\boldsymbol {p}}(t_{0})\rangle +q{\boldsymbol {E}}\mathrm {d} t\right)} なぜなら、平均すれば 1 − dt/τ だけの電子はまだ衝突していないはずであり、既に衝突した電子は総運動量に無視できるオーダーの寄与しかもたないからである。 代数的な処理を施して dt2 のオーダーの項を無視すると、以下の微分方程式が結果として得られる。 d d t ⟨ p ( t ) ⟩ = q E − ⟨ p ( t ) ⟩ τ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle {\boldsymbol {p}}(t)\rangle =q{\boldsymbol {E}}-{\frac {\langle {\boldsymbol {p}}(t)\rangle }{\tau }}} ここで ⟨p⟩ は平均運動量を示す。この線形非斉次微分方程式は以下のような一般解を持つ。 ⟨ p ( t ) ⟩ = q τ E ( 1 − e − t / τ ) + ⟨ p ( 0 ) ⟩ e − t / τ {\displaystyle \langle {\boldsymbol {p}}(t)\rangle =q\tau {\boldsymbol {E}}(1-e^{-t/\tau })+\langle {\boldsymbol {p(0)}}\rangle e^{-t/\tau }} よって、定常解 (d⟨p⟩/dt = 0) は ⟨ p ⟩ = q τ E {\displaystyle \langle {\boldsymbol {p}}\rangle =q\tau {\boldsymbol {E}}} 上述のとおり、平均運動量は平均速度と関連しており、それを通じて電流密度と関連づけることができる。 ⟨ p ⟩ = m ⟨ v ⟩ {\displaystyle \langle {\boldsymbol {p}}\rangle =m\langle {\boldsymbol {v}}\rangle } J = n q ⟨ v ⟩ {\displaystyle {\boldsymbol {J}}=nq\langle {\boldsymbol {v}}\rangle } ここから、直流電気伝導率 σ0 でオームの法則を満たす物質は以下を満たすことが示せる。 J = ( n q 2 τ m ) E {\displaystyle {\boldsymbol {J}}=\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right){\boldsymbol {E}}} ドルーデモデルにより、角周波数 ω で時間変動する電場への応答を予測することもできる。 σ ( ω ) = σ 0 1 + i ω τ = σ 0 1 + ω 2 τ 2 − i ω τ σ 0 1 + ω 2 τ 2 {\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1+i\omega \tau }}={\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}-i\omega \tau {\frac {\sigma _{0}}{1+\omega ^{2}\tau ^{2}}}} ここで、以下の二つを仮定している。 E ( t ) = ℜ ( E 0 e i ω t ) ; {\displaystyle E(t)=\Re (E_{0}e^{i\omega t});} J ( t ) = ℜ ( σ ( ω ) E 0 e i ω t ) {\displaystyle J(t)=\Re (\sigma (\omega )E_{0}e^{i\omega t})} i を全て −i で置き換えた表式を用いることもある。虚部は電子が変動する電場に追随して加速するまでにおよそ τ だけの時間を要することに起因する電流の電場に対する遅れを表わす。ここまで、電子についてドルーデモデルを適用してきたが、このモデルは電子と正孔（半導体中の正に帯電した電荷担体）のどちらにも適用することができる。 σ(ω) の曲線をグラフに示す。
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