既約行列に対するペロン＝フロベニウスの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/17 06:59 UTC 版)
「ペロン＝フロベニウスの定理」の記事における「既約行列に対するペロン＝フロベニウスの定理」の解説
いま A を、非負かつ既約な n × n 行列とし、その周期は h で、スペクトル半径は ρ(A) = r でそれぞれ表されるものとする。このとき、次の主張が成立する。 r は正の実数で、行列 A の固有値（ペロン＝フロベニウス固有値と呼ばれる）である。 ペロン＝フロベニウス固有値 r は単純である。r に対応する右および左の各固有空間は、一次元である。 A は、固有値 r に対応する左固有ベクトル v を持ち、その成分はすべて正である。 同様に、A は固有値 r に対応する右固有ベクトル w' を持ち、その成分はすべて正である。 すべての成分が正である固有ベクトルは、（定数倍の違いを無視すれば）固有値 r に対応する上述のものだけである。 行列 A は、絶対値が r と等しい複素固有値をちょうど h 個（h は行列の周期）持つ。それらはそれぞれ、特性多項式の単純根であり、r と h次の1の冪根の積として与えられる。 ω = 2π/h とする。このとき行列 A は行列 eiωA と相似で、したがって A のスペクトルは eiω の乗算に対して不変である（その乗算は、偏角 ω による複素平面上の回転に対応する）。 h > 1 であれば、次を満たす置換行列 P が存在する： P A P − 1 = ( 0 A 1 0 0 … 0 0 0 A 2 0 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 … A h − 1 A h 0 0 0 … 0 ) . {\displaystyle PAP^{-1}={\begin{pmatrix}0&A_{1}&0&0&\ldots &0\\0&0&A_{2}&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&0&\ldots &A_{h-1}\\A_{h}&0&0&0&\ldots &0\end{pmatrix}}.} ここで主対角線上のブロック行列は、すべてゼロの正方行列である。 9. コラッツ＝ヴィーランド（Collatz-Wielandt）の公式：全ての非負かつ非ゼロなベクトル x に対し、xi ≠ 0 である全ての i について、 [Ax]i / xi の最小値を、f(x) とする。このとき、実数値関数 f の最大値はペロン＝フロベニウス固有値である。 10. ペロン＝フロベニウス固有値は、次の不等式を満たす： min i ∑ j a i j ≤ r ≤ max i ∑ j a i j . {\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leq r\leq \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}
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