投資家の期待効用最大化問題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/09/24 05:42 UTC 版)
「異時点間CAPM」の記事における「投資家の期待効用最大化問題」の解説
金融市場は完全市場で金融資産は連続的に取引可能であると仮定する。金融市場では一つの安全資産と n {\displaystyle n} 個のリスク資産が取引されているとする。以下では表記の簡略化のために時間に関する添字を省略するが、基本的にすべての変数は時間によって変動しうる。リスク資産 i {\displaystyle i} の価格を P i {\displaystyle P_{i}} とすると、 P i {\displaystyle P_{i}} は以下の確率微分方程式に従う。 d P i = P i ( α i d t + σ i d Z i ) {\displaystyle dP_{i}=P_{i}(\alpha _{i}dt+\sigma _{i}dZ_{i})} ここで Z i {\displaystyle Z_{i}} はブラウン運動である。ただし、異なる i , j {\displaystyle i,j} について Z i {\displaystyle Z_{i}} と Z j {\displaystyle Z_{j}} が相関することを許す。異なる資産 i , j {\displaystyle i,j} の収益率の瞬間的な共分散は、 Z i {\displaystyle Z_{i}} と Z j {\displaystyle Z_{j}} の瞬間的な相関係数を ρ i , j {\displaystyle \rho _{i,j}} とすれば、 σ i , j := ⟨ d P i P i , d P j P j ⟩ d t = σ i σ j ρ i , j {\displaystyle \sigma _{i,j}:={\frac {{\Big \langle }{\frac {dP_{i}}{P_{i}}},{\frac {dP_{j}}{P_{j}}}{\Big \rangle }}{dt}}=\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{i,j}} であり、資産 i {\displaystyle i} の瞬間的な期待収益率は α i {\displaystyle \alpha _{i}} となる。また安全資産の価格 P 0 {\displaystyle P_{0}} は次の常微分方程式に従う。 d P 0 d t = r P 0 {\displaystyle {\frac {dP_{0}}{dt}}=rP_{0}} ここで、 α i , σ i , j , i , j = 1 , … , n {\displaystyle \alpha _{i},\sigma _{i,j},i,j=1,\dots ,n} と r {\displaystyle r} は、 S {\displaystyle S} 個の状態変数 X s , s = 1 , … , S {\displaystyle X_{s},s=1,\dots ,S} の変動によってその値が変動する。状態変数 X s {\displaystyle X_{s}} は次の確率微分方程式に従う。 d X s = f s d t + g s d Q s {\displaystyle dX_{s}=f_{s}dt+g_{s}dQ_{s}} ここで Q s {\displaystyle Q_{s}} はブラウン運動で異なる s {\displaystyle s} や Z i , i = 1 , … , n {\displaystyle Z_{i},i=1,\dots ,n} と相関することを許容する。つまり、状態変数 X s {\displaystyle X_{s}} と資産 i {\displaystyle i} のリターンの瞬間的な共分散は、 Q s {\displaystyle Q_{s}} と Z i {\displaystyle Z_{i}} の瞬間的な相関係数を η s , i {\displaystyle \eta _{s,i}} とすると σ s , i := ⟨ d X s , d P i P i ⟩ d t = g s σ i η s , i {\displaystyle \sigma _{s,i}:={\frac {{\Big \langle }dX_{s},{\frac {dP_{i}}{P_{i}}}{\Big \rangle }}{dt}}=g_{s}\sigma _{i}\eta _{s,i}} となる。同様にして状態変数 X s {\displaystyle X_{s}} と X s ′ {\displaystyle X_{s^{\prime }}} の瞬間的な共分散は σ s , s ′ = g s g s ′ ν s , s ′ {\displaystyle \sigma _{s,s^{\prime }}=g_{s}g_{s^{\prime }}\nu _{s,s^{\prime }}} となる。ただし、 ν s , s ′ {\displaystyle \nu _{s,s^{\prime }}} は Q s {\displaystyle Q_{s}} と Q s ′ {\displaystyle Q_{s^{\prime }}} の瞬間的な相関係数である。さらにここで重要な仮定として、 P i , i = 0 , 1 , … , n {\displaystyle P_{i},i=0,1,\dots ,n} と X s , s = 1 , … , S {\displaystyle X_{s},s=1,\dots ,S} は斉時的（英: time-homogeneous）なマルコフ過程であるとする。 投資家 k {\displaystyle k} の資産への投資比率を表すポートフォリオを w i k , i = 1 , … , n {\displaystyle w_{i}^{k},i=1,\dots ,n} とし、投資家の総資産 W k {\displaystyle W^{k}} は以下の確率微分方程式に従うものとする。 d W k = W k ( ( 1 − ∑ i = 1 n w i k ) d P 0 P 0 + ∑ i = 1 n w i k d P i P i ) − c k d t = ( ( ∑ i = 1 n w i k ( α i − r ) + r ) W k − c k ) d t + W k ∑ i = 1 n w i k σ i d Z i {\displaystyle dW^{k}=W^{k}\left(\left(1-\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{k}\right){\frac {dP_{0}}{P_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{k}{\frac {dP_{i}}{P_{i}}}\right)-c^{k}dt=\left(\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{k}(\alpha _{i}-r)+r\right)W^{k}-c^{k}\right)dt+W^{k}\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{k}\sigma _{i}dZ_{i}} ここで c k {\displaystyle c^{k}} は投資家 k {\displaystyle k} の消費額を表す。 投資家 k {\displaystyle k} は次の時点 t {\displaystyle t} から T > t {\displaystyle T>t} までの期待効用最大化問題に直面しているとする。 V k ( t , W k , x 1 , … , x S ) = max w 1 k , … , w n k , c k E t , x [ ∫ t T u ( c k ( s ) , s ) d s + B ( W k ( T ) , T ) ] {\displaystyle V^{k}(t,W^{k},x_{1},\dots ,x_{S})=\max _{w_{1}^{k},\dots ,w_{n}^{k},c^{k}}E_{t,x}\left[\int _{t}^{T}u(c^{k}(s),s)ds+B(W^{k}(T),T)\right]} subject to d W k = ( ( ∑ i = 1 n w i k ( α i − r ) + r ) W k − c k ) d t + W k ∑ i = 1 n w i k σ i d Z i , {\displaystyle {\mbox{subject to }}dW^{k}=\left(\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{k}(\alpha _{i}-r)+r\right)W^{k}-c^{k}\right)dt+W^{k}\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{k}\sigma _{i}dZ_{i},} d X s = f s d t + g s d Q s , s = 1 , … , S {\displaystyle dX_{s}=f_{s}dt+g_{s}dQ_{s},s=1,\dots ,S} W k ( t ) = W k , X s ( t ) = x s , s = 1 , … , S {\displaystyle W^{k}(t)=W^{k},X_{s}(t)=x_{s},s=1,\dots ,S} ただし、 c k ( s ) {\displaystyle c^{k}(s)} は s {\displaystyle s} 時点における c k {\displaystyle c^{k}} の値を指す。 W k ( T ) , W k ( t ) , X s ( t ) {\displaystyle W^{k}(T),W^{k}(t),X_{s}(t)} も同様である。 u {\displaystyle u} と B {\displaystyle B} はそれぞれ効用関数である。これはマートンのポートフォリオ問題にあたるが、状態変数が最大化問題に含まれるのでハミルトン＝ヤコビ＝ベルマン方程式は標準的なマートンのポートフォリオ問題とは異なる形状になる。ハミルトン＝ヤコビ＝ベルマン方程式からこの期待効用最大化問題の解となる最適投資比率は次の連立方程式の解となる。 0 = ( α i − r ) V W k W k + V W W k ( W k ) 2 ∑ j = 1 n σ i , j w j k + W k ∑ s = 1 S g s σ i η s , i V W x s k , i = 1 , … , n {\displaystyle 0=(\alpha _{i}-r)V_{W}^{k}W^{k}+V_{WW}^{k}(W^{k})^{2}\sum _{j=1}^{n}\sigma _{i,j}w_{j}^{k}+W^{k}\sum _{s=1}^{S}g_{s}\sigma _{i}\eta _{s,i}V_{Wx_{s}}^{k},\quad i=1,\dots ,n} ただし、 V W k = ∂ V k ∂ W k , V W W k = ∂ 2 V k ∂ ( W k ) 2 , V W x s k = ∂ V k ∂ W k ∂ x s , s = 1 , … S {\displaystyle V_{W}^{k}={\frac {\partial V^{k}}{\partial W^{k}}},V_{WW}^{k}={\frac {\partial ^{2}V^{k}}{\partial (W^{k})^{2}}},V_{Wx_{s}}^{k}={\frac {\partial V^{k}}{\partial W^{k}\partial x_{s}}},s=1,\dots S} である。ここで行列表記を導入して α − r = ( α 1 − r ⋮ α n − r ) , σ P P = ( σ 1 , 1 ⋯ σ 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ σ n , 1 ⋯ σ n , n ) , σ P X = ( σ 1 g 1 η 1 , 1 ⋯ σ 1 g S η S , 1 ⋮ ⋱ ⋮ σ n g 1 η 1 , n ⋯ σ n g S η S , n ) , {\displaystyle \alpha -r=\left({\begin{array}{c}\alpha _{1}-r\\\vdots \\\alpha _{n}-r\end{array}}\right),\quad \sigma _{PP}=\left({\begin{array}{ccc}\sigma _{1,1}&\cdots &\sigma _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{n,1}&\cdots &\sigma _{n,n}\end{array}}\right),\quad \sigma _{PX}=\left({\begin{array}{ccc}\sigma _{1}g_{1}\eta _{1,1}&\cdots &\sigma _{1}g_{S}\eta _{S,1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{n}g_{1}\eta _{1,n}&\cdots &\sigma _{n}g_{S}\eta _{S,n}\end{array}}\right),} w k = ( w 1 k ⋮ w n k ) , H k = ( − V W x 1 k V W W k ⋮ − V W x S k V W W k ) , A k = − V W k V W W k {\displaystyle w^{k}=\left({\begin{array}{c}w_{1}^{k}\\\vdots \\w_{n}^{k}\end{array}}\right),\quad H^{k}=\left({\begin{array}{c}-{\frac {V_{Wx_{1}}^{k}}{V_{WW}^{k}}}\\\vdots \\-{\frac {V_{Wx_{S}}^{k}}{V_{WW}^{k}}}\end{array}}\right),\quad A^{k}=-{\frac {V_{W}^{k}}{V_{WW}^{k}}}} W k w k = A k σ P P − 1 ( α − r ) + σ P P − 1 σ P X H k {\displaystyle W^{k}w^{k}=A^{k}\sigma _{PP}^{-1}(\alpha -r)+\sigma _{PP}^{-1}\sigma _{PX}H^{k}} この式は投資家 k {\displaystyle k} の金額ベースでの需要関数を表している。
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