平行ビーム光学系によるトモグラフ像撮影のモデル化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/17 06:31 UTC 版)
「トモグラフィー」の記事における「平行ビーム光学系によるトモグラフ像撮影のモデル化」の解説
被写体を光線が透過した際に、透過光がどれだけ減衰するかを考えることで、上記のラドン変換が導出される。以下、その導出を行う。 ラドン変換を考える際、光線は幾何光学的な光を考える。即ち、光線は、極めて直進性がよく、吸収はされるが、回折や散乱をしないと考え、さらに反射もしないと考えてよいとする。例えばX線を、人体に透過させる場合には、このように考えて差しさわりない。幾何光学において、光線は直線で表される。光線の軌跡が、x-y断面上の直線 l {\displaystyle l} で表される場合について考える。 吸光が、ランベルト・ベールの法則に従うとすると、前記光線の入射強度を I 0 {\displaystyle {I}_{0}} 、透過後の強度を I {\displaystyle I} 表記したとき、 I = I 0 exp ( − ∫ μ ( x , y ) d l ) = I 0 exp ( − ∫ − ∞ ∞ μ ( l ( t ) ) | l ˙ ( t ) | d t ) {\displaystyle I=I_{0}\exp \left({-\int \mu (x,y)\,dl}\right)=I_{0}\exp \left({-{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (l(t))\,|{\dot {l}}(t)|dt}\right)} が成り立つ。従って、光線lに沿った吸光度を p l {\displaystyle p_{l}} と表すと、 p l = ln ( I / I 0 ) = − ∫ μ ( x , y ) d l = − ∫ − ∞ ∞ μ ( l ( t ) ) | l ˙ ( t ) | d t {\displaystyle p_{l}=\ln(I/I_{0})=-\int \mu (x,y)\,dl=-{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (l(t))\,|{\dot {l}}(t)|dt} 次に、x-y平面に対し、角度θをなす光束を考える。この光束の像について考察しよう。新たに s − t {\displaystyle s-t} 座標系を、 [ s t ] = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ x y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}s\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}} により定義する。即ち、s-t座標系は、x-y座標系を角度θだけ回転した座標系である。このとき、回転行列の性質から、 [ x y ] = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ s t ] = [ s cos θ − t sin θ s sin θ + t cos θ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}s\\t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}s\cos \theta -t\sin \theta \\s\sin \theta +t\cos \theta \\\end{bmatrix}}} となる。今、上式において、sとθを固定すると、上式は、tを変数とする直線と見做せる。 [ x y ] = t [ − sin θ cos θ ] + [ s cos θ s sin θ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=t{\begin{bmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}s\cos \theta \\s\sin \theta \\\end{bmatrix}}} のように書くと、より直線らしく見えるであろう。 即ち、x-y平面に対し、角度θをなす光束は、以下の l [ θ , s ] ( t ) {\displaystyle {l}_{[\theta ,s]}(t)} で定まる直線を、すべてのsにわたって集めてきたものと考えられる。 l [ θ , s ] ( t ) = t [ − sin θ cos θ ] + [ s cos θ s sin θ ] {\displaystyle {l}_{[\theta ,s]}(t)=t{\begin{bmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}s\cos \theta \\s\sin \theta \\\end{bmatrix}}} さらに、光線 l [ θ , s ] ( t ) {\displaystyle {l}_{[\theta ,s]}(t)} による吸光量を、 p ( s , θ ) {\displaystyle p(s,\theta )} と書くと、 p ( s , θ ) = − ∫ − ∞ ∞ μ ( s cos θ − t sin θ , s sin θ + t cos θ ) d t {\displaystyle p(s,\theta )=-{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (s\cos \theta -t\sin \theta ,s\sin \theta +t\cos \theta )\,dt} が成り立つ。 以上から、x軸に対し、角度θをなす平行光束による透過像（一次元透過像）のプロファイルが、ラドン変換によって与えられることが判った。この、 p ( s , θ ) {\displaystyle p(s,\theta )} が、CT撮影により測定される測定データである。
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