完全圏のグロタンディーク群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/01 16:28 UTC 版)
「グロタンディーク群」の記事における「完全圏のグロタンディーク群」の解説
これら 2つの概念の共通な一般化は、完全圏（英語版） A {\displaystyle {\mathcal {A}}} のグロタンディーク群により与えられる。単純化された完全圏は、別の短系列 A → B → C の類を持つ加法圏である。この別な系列は「完全系列」と呼ばれる。別のクラスの正確な公理はグロタンディーク群を構成する上で問題ではない。 完全圏のグロタンディーク群は、前と同様に圏 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の対象（の同型類）の生成子 [M] を持ち、各々の完全系列 A ↪ B ↠ C {\displaystyle A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C} に対する関係式 [ A ] − [ B ] + [ C ] = 0 {\displaystyle [A]-[B]+[C]=0} を持つアーベル群として定義される。 あるいは完全圏のグロタンディーク群を普遍性を使い定義することもできる。アーベル群 G を写像 ϕ : O b ( A ) → G {\displaystyle \phi :\mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to G} がグロタンディーク群 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} であるとは、 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} からアーベル群 X へのすべての｢加法的」写像 χ : O b ( A ) → X {\displaystyle \chi \colon \mathrm {Ob} ({\mathcal {A}})\to X} （上の意味で「加法的」とは、すべての完全系列 A ↪ B ↠ C {\displaystyle A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C} に対し、 χ ( A ) − χ ( B ) + χ ( C ) = 0 {\displaystyle \chi (A)-\chi (B)+\chi (C)=0} となることである）は、一意に φ を通して分解することである。 「完全」の意味を標準的な解釈をすると、すべてのアーベル圏は完全圏である。このことは、 A := R {\displaystyle {\mathcal {A}}:=R} -mod としたとき、 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} とする有限生成 R-加群の前のセクションでのグロタンディーク群の考え方をもたらす。前のセクションでは、R はアルティン的であり（従って、ネター的（Noetherian)である）ことを前提とするので、すでに実際はアーベル的である。 他方、この系列だけで包含写像と射影射をもつ A ↪ A ⊕ B ↠ B {\displaystyle A\hookrightarrow A\oplus B\twoheadrightarrow B} の形をした系列を完全ということにすると、すべての加法圏も完全である。この過程は、可換モノイド ( I s o ( A ) , ⊕ ) {\displaystyle (\mathrm {Iso} ({\mathcal {A}}),\oplus )} のグロタンディーク群を、最初の意味で生成する（ここに I s o ( A ) {\displaystyle \mathrm {Iso} ({\mathcal {A}})} は、 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の中では（基本的性格を除き）同値類の「集合」を意味する）。
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