完全に非線型の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/04 07:28 UTC 版)
次の偏微分方程式を考える。 F ( x 1 , … , x n , u , p 1 , … , p n ) = 0 {\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{n},u,p_{1},\dots ,p_{n})=0} (4) ここで変数 pi は次の偏微分を略記したものである。 p i = ∂ u ∂ x i . {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}.} Rn+1 内の超曲面 (xi, u) が偏微分方程式の解であるとする。解の超曲面の上にある任意の滑らかな(微分可能な)曲線を特性曲線と言い、s を曲線長さに沿うパラメータとして、曲線上の各点は次のように表されるものとする。 u ( s ) = u ( x 1 ( s ) , … , x n ( s ) ) . {\displaystyle u(s)=u(x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s)).} また、解の曲面の方向は、この特性曲線の各点での接線の傾き p i = ∂ u ∂ x i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}} により指定されているとする。解に沿って (4)を s に関して微分すると、次が得られる。 ∑ i ( F x i + F u p i ) x ˙ i + ∑ i F p i p ˙ i = 0 {\displaystyle \sum _{i}(F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}){\dot {x}}_{i}+\sum _{i}F_{p_{i}}{\dot {p}}_{i}=0} (5) u ˙ − ∑ i p i x ˙ i = 0 {\displaystyle {\dot {u}}-\sum _{i}p_{i}{\dot {x}}_{i}=0} (6) ∑ i ( x ˙ i d p i − p ˙ i d x i ) = 0. {\displaystyle \sum _{i}({\dot {x}}_{i}dp_{i}-{\dot {p}}_{i}dx_{i})=0.} (7) 式(6)は、解 u に対して連鎖律を適用することで得られる。また式(7)の括弧内は x i ˙ d p i − p i ˙ d x i = d x i d s d p i d s d s − d p i d s d x i d s d s = 0. {\displaystyle {\dot {x_{i}}}dp_{i}-{\dot {p_{i}}}dx_{i}={\frac {dx_{i}}{ds}}{\frac {dp_{i}}{ds}}ds-{\frac {dp_{i}}{ds}}{\frac {dx_{i}}{ds}}ds=0.} だから式(7)が成立する。 λ をある定数として λ×(5)+(7)/dsを 作ると次の式(8)となる。 ∑ i ( λ ( F x i + F u p i ) + p ˙ i ) ( d x i / d s ) + ∑ i ( λ F p i − x ˙ i ) ( d p i / d s ) = 0 {\displaystyle \sum _{i}(\lambda (F_{x_{i}}+F_{u}p_{i})+{\dot {p}}_{i})(dx_{i}/ds)+\sum _{i}(\lambda F_{p_{i}}-{\dot {x}}_{i})(dp_{i}/ds)=0} (8) 式(8)はその点を通る任意の特性曲線 xi (s)に対して成り立つ。特性曲線 xi(s)が任意に変わると、dxi/dsおよびdpi/dsはそれに応じて変わってしまう変数である。それでも式(8)が成り立つためには、dxi/dsおよびdpi/dsの係数は 0 でなければならない。よって λ ( F x i + F u p i ) + p ˙ i = 0 , λ F p i − x ˙ i = 0 , . {\displaystyle \quad \lambda (F_{x_{i}}+F_{u}p_{i})+{\dot {p}}_{i}=0,\quad \lambda F_{p_{i}}-{\dot {x}}_{i}=0,.} x ˙ i = λ F p i , p ˙ i = − λ ( F x i + F u p i ) . {\displaystyle {\dot {x}}_{i}=\lambda F_{p_{i}},\quad {\dot {p}}_{i}=-\lambda (F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}).} この x ˙ i = λ F p i {\displaystyle {\dot {x}}_{i}=\lambda F_{p_{i}}} を式(6)に入れると u ˙ − λ ∑ i p i F p i = 0 , u ˙ = λ ∑ i p i F p i . {\displaystyle \quad {\dot {u}}-\lambda \sum _{i}p_{i}F_{p_{i}}=0,\quad {\dot {u}}=\lambda \sum _{i}p_{i}F_{p_{i}}.} ここに λ はある定数である。これらの式をより対称的に書くと、特性曲線に対する次のラグランジュ＝シャルピ方程式が得られる。 x ˙ i F p i = − p ˙ i F x i + F u p i = u ˙ ∑ p i F p i . {\displaystyle {\frac {{\dot {x}}_{i}}{F_{p_{i}}}}=-{\frac {{\dot {p}}_{i}}{F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}}}={\frac {\dot {u}}{\sum p_{i}F_{p_{i}}}}.} (9) 幾何学的に、完全に非線型の場合の特性曲線法は、微分方程式のモンジュ錐（英語版）が至る所で解のグラフに接することを要求するものとして解釈される。
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