同程度連続性とアスコリ＝アルツェラの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/28 20:24 UTC 版)
「一様空間」の記事における「同程度連続性とアスコリ＝アルツェラの定理」の解説
「アスコリ＝アルツェラの定理」も参照 定義 (同程度連続性) ― Xを位相空間、 ( Y , U ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})} を一様空間とし、ΦをXからYへの関数の集合とする。このとき以下の２つは同値であり、Φが以下の性質の一方（したがって両方）を満たす事を同程度連続であるという： 任意のx ∈ Xと任意の U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} に対し、xの近傍Vが存在し、任意のf∈Φと任意のy∈Yに対し、 ( f ( x ) , f ( y ) ) ∈ U {\displaystyle (f(x),f(y))\in U} 任意のx ∈ Xに対し、 ρ x : F → Y {\displaystyle \rho _{x}~:~F\to Y} を ρ x ( f ) = f ( x ) {\displaystyle \rho _{x}(f)=f(x)} と定義するとき、 x ∈ X ↦ ρ x ∈ F ( Φ , Y ) {\displaystyle x\in X\mapsto \rho _{x}\in F(\Phi ,Y)} は一様連続である。 上の2における一様連続性は、ΦにはF(X,Y)に一様収束の一様構造を入れたものをΦに制限した一様構造を入れ、F(Φ,Y)にはΦからYへの写像全体の集合に入る一様収束に関する一様構造を入れたときのものである。 定理 (同程度連続性の擬距離の集合による特徴づけ) ― X、 ( Y , U ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})} 、Φを上の定理と同様に取り、DをY上の擬距離の集合でDが定める一様構造が U {\displaystyle {\mathcal {U}}} に一致するものとする。このとき、Φが同程度連続である必要十分条件は任意のx ∈ Xと任意のd ∈ Dと任意のε > 0に対し、xの近傍Vが存在し、任意のf∈Φと任意のy∈Yに対し、 d ( f ( x ) , f ( y ) ) < ε {\displaystyle d(f(x),f(y))<\varepsilon } が成立する事である： 定理 (アスコリ＝アルツェラの定理) ― Xを位相空間、 ( Y , U ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})} を一様空間とし、C(X,Y)をXからYへの連続関数全体の集合とし、ΦをC(X,Y)の部分集合とする。このとき Φは同程度連続 任意のx ∈ Xに対し、 { f ( x ) ∣ f ∈ Φ } {\displaystyle \{f(x)\mid f\in \Phi \}} はYで相対コンパクト であれば、ΦはC(X,Y)で相対コンパクトである。 Xが局所コンパクトであるかもしくは第一可算公理を満たす場合は、逆にΦがC(X,Y)で相対コンパクトであれば、1, 2を満たす。
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