分散

統計学用語辞典

分散（V）

　各測定値の平均値からのずれの総量が 0 にならないようにするために，平均値からの変位の二乗和をとるものである。
　　有効ケース数を n，各ケースの測定値を Xi （ i = 1，2，… ，n ）とすると，以下の式で定義される。

　すなわち変動を n で割ったものである。分母がケース数 n であることに注意（不偏分散も参照のこと）。
　上式を変形すると，次式が得られる。

　この式は電卓などを用いて計算するときには便利なものであるが，コンピュータを用いて計算する場合には使わない方がよい。
　例題：5 つの測定値，2，3，4，7，9 の分散を求めよ。
　解答：算術平均値は = ( 2 + 3 + 4 + 7 + 9 ) / 5 = 5
　 分散は V = { ( 2 - 5 )² +( 3 - 5 )² +( 4 - 5 )² +( 7 - 5 )² +( 9 - 5 )² } / 5 = { 3² + 2² + 1² + 2² + 4² } / 5 = 6.8
　 または，V = { 2² + 3² + 4² + 7² + 9² } / 5 - 5² = 159 / 5 - 25 = 6.8


　度数分布表から分散を求めるには，各階級の度数を fi，その中心点を Xi，m を階級数として，以下のように定義できる。

　例題：「426 人の女子学生の身長の度数分布が表 1 のようであった。分散を求めよ。」

表 1．女子学生の身長の度数分布

階級（単位 cm）	度数
140 以上 145 未満	4
145 以上 150 未満	19
150 以上 155 未満	86
155 以上 160 未満	177
160 以上 165 未満	105
165 以上 170 未満	33
170 以上 175 未満	2
合計	426

　解答：以下のような計算表を作る。

中心点(Xi)	fi	fi・Xi	Xi2	fi・Xi2
142.5	4	570.00	20306.25	81225.00
147.5	19	2802.50	21756.25	413368.75
152.5	86	13115.00	23256.25	2000037.50
157.5	177	27877.50	24806.25	4390706.25
162.5	105	17062.50	26406.25	2772656.25
167.5	33	5527.50	28056.25	925856.25
172.5	2	345.00	29756.25	59512.50
合計	426	67300.00	10643362.50

算術平均値は = 67300 / 426 = 157.981221
分散は V = 10643362.50 / 426 - 157.981221² = 26.3529337