不可能な作図とは? わかりやすく解説

不可能な作図

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/07/04 08:05 UTC 版)

定規とコンパスによる作図」の記事における「不可能な作図」の解説

ギリシア三大作図問題ギリシア時代数学者たちによって次の3つの作図定規コンパスによって可能か、という問い立てられ与えられた円と等し面積をもつ正方形作ること(円積問題与えられ立方体体積の 2 倍に等し体積をもつ立方体作ること(立方体倍積問題,「デロス島災難」の問題与えられた角を三等分すること(角の三等分問題) 現在ではこれらは全て定規コンパスのみでは作図できないこと証明されている。1837年にヴァンツェルは、角の三等分問題立方体倍積問題三次方程式を解かなくてはならないことを示した非自明な三次方程式の根によって生成される体は拡大次数が 3 になってしまい、そのような数を座標にする点は作図できない。倍積問題はある線分を2の3乗根(無理数)倍に伸ばす方法導出円積問題は、方程式 x2 = πr2 の解を求めることと同値である(π は円周率)。1882年に、リンデマンにより π が超越数であることが証明され作図不可能であることが示された。 なお、不可能であることが示されているにもかかわらずいまだに角の三等分作図可能であることを示そうとする人々がおり、角の三等分家 (Trisector) と呼ばれている。定規コンパス以外の道具使用したり、定規コンパスを本来とは異な使い方使用することで角の三等分作図(あるいは工作等)することは可能であるが、当然ながら、これらは元々の「角の三等分問題」に対す解答ではない。また、任意の角を三等分する」という問題であるのに、これを「少なくも一つの角を三等分する」問題であると勘違いし、直角などが三等分できたのでこの問題解けた速断する人もいる(角度によっては定規コンパスで、その角度の1/3の角度作図できる)。

※この「不可能な作図」の解説は、「定規とコンパスによる作図」の解説の一部です。
「不可能な作図」を含む「定規とコンパスによる作図」の記事については、「定規とコンパスによる作図」の概要を参照ください。

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