ロトカのモデル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/11 03:38 UTC 版)
「オイラー＝ロトカの方程式」の記事における「ロトカのモデル」の解説
A・J・ロトカは1911年に次のような人口動態の連続時間モデルを開発した。このモデルは、対象とする集団人口のうち女性のみを追跡する。 ある集団で年齢 a {\displaystyle a} 歳までの生存率を ℓ ( a ) {\displaystyle \ell (a)} 、 a {\displaystyle a} 歳の母親1人が年間出生する娘の数、年齢別子孫出生率を b ( a ) {\displaystyle b(a)} とし、これらは世代にわたって安定で変化しないものとする。また、時刻 t {\displaystyle t} 年の集団全体での年間子孫（女性）出生数を B ( t ) {\displaystyle B(t)} とする。このとき、時刻 t {\displaystyle t} で年齢 a {\displaystyle a} の母親の数は B ( t − a ) ℓ ( a ) {\displaystyle B(t-a)\ell (a)} であり、それに b ( a ) {\displaystyle b(a)} を掛けた値は彼女らが1年間で出生する子孫数となるので、その総和は集団全体の全子孫出生数 B ( t ) {\displaystyle B(t)} となる（ロトカの積分方程式または再生方程式）。 B ( t ) = ∫ 0 ω B ( t − a ) ℓ ( a ) b ( a ) d a . {\displaystyle B(t)=\int _{0}^{\omega }B(t-a)\ell (a)b(a)\,da.} ただし、 ω {\displaystyle \omega } はその集団の最高年齢である。 次に、集団全体の人口は指数関数的に増加（または減少）しているとして、 B ( t ) = A e r t {\displaystyle B(t)=Ae^{rt}} の形で表されると仮定する。これを上の積分方程式に用いると、 A e r t = ∫ 0 ω A e r ( t − a ) ℓ ( a ) b ( a ) d a {\displaystyle Ae^{rt}=\int _{0}^{\omega }Ae^{r(t-a)}\ell (a)b(a)\,da} つまり、 1 = ∫ 0 ω e − r a ℓ ( a ) b ( a ) d a . {\displaystyle 1=\int _{0}^{\omega }e^{-ra}\ell (a)b(a)\,da.} となる（連続時間形のロトカ＝オイラーの方程式）。 連続変数としての年齢 a {\displaystyle a} を年単位で離散的に選び、積分を総和に置き変えることにより、次のように離散時間形に書き直すことができる。 1 = ∑ a = 0 ω e − r a ℓ ( a ) b ( a ) {\displaystyle 1=\sum _{a=0}^{\omega }e^{-ra}\ell (a)b(a)} 単位時間ステップ（1年）の成長率 e r {\displaystyle e^{r}} を λ {\displaystyle \lambda } 置き変えると、先に示した離散時間の方程式 1 = ∑ a = 0 ω λ − a ℓ ( a ) b ( a ) {\displaystyle 1=\sum _{a=0}^{\omega }\lambda ^{-a}\ell (a)b(a)} が得られる。
※この「ロトカのモデル」の解説は、「オイラー＝ロトカの方程式」の解説の一部です。
「ロトカのモデル」を含む「オイラー＝ロトカの方程式」の記事については、「オイラー＝ロトカの方程式」の概要を参照ください。
- ロトカのモデルのページへのリンク
