ポテンシャルに付随する密度とは? わかりやすく解説

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ポテンシャルに付随する密度

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/03 14:55 UTC 版)

ラプラス作用素」の記事における「ポテンシャルに付随する密度」の解説

φ が電荷分布 q に付随した電位記述するものとすると、電荷分布自身は φ のラプラシアンとして q = Δ φ {\displaystyle q=\Delta \varphi } (1)与えられる。これはガウスの法則帰結である。実際、V が任意の滑らかな領域ならば、電場 E {\textstyle {\boldsymbol {E}}} の電束に関するガウスの法則により、(単位当たりの)電荷は ∫ ∂ V En d S = ∫ ∂ V ∇ φ ⋅ n d S = ∫ V q d V {\displaystyle \int _{\partial V}{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {n}}\,dS=\int _{\partial V}\nabla \varphi \cdot {\boldsymbol {n}}\,dS=\int _{V}q\,dV} になる。ただし、最初等号静電場静電位の勾配等しという事実を用いた発散定理により、 ∫ V Δ φ d V = ∫ V q d V {\displaystyle \int _{V}\Delta \varphi \,dV=\int _{V}q\,dV} が成り立ち、これは任意の領域 V に対して成り立つことから (1) を得る。 同じ説明によって、重力ポテンシャルラプラシアン質量分布となることが導かれる電荷質量分布与えられていてそれらに付随するポテンシャル未知ということはよくあることである。適当な境界条件の下でポテンシャル函数求めということはポワソン方程式を解くことに同じである。

※この「ポテンシャルに付随する密度」の解説は、「ラプラス作用素」の解説の一部です。
「ポテンシャルに付随する密度」を含む「ラプラス作用素」の記事については、「ラプラス作用素」の概要を参照ください。

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