ハリッシュ＝チャンドラによるプランシュレルの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/26 00:41 UTC 版)
「球函数に対するプランシュレルの定理」の記事における「ハリッシュ＝チャンドラによるプランシュレルの定理」の解説
G は中心が有限な非コンパクト連結実編単純リー群で、そのリー環を g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} とする。また、極大コンパクト部分群 K がカルタン対合 σ の不動点部分群として与えられるものとする。 g ± {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\pm }} を g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} における σ の ±1-固有空間とすると、 k = g + {\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {g}}_{+}} は K のリー環であり、and p = g − {\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {g}}_{-}} と合わせてカルタン分解 g = k + p , G = exp p ⋅ K {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}+{\mathfrak {p}},\quad G=\exp {\mathfrak {p}}\cdot K} が与えられる。 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} を p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} の極大可換部分環とし、 a ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}} の元 α に対し g α = { X ∈ g : [ H , X ] = α ( H ) X ( H ∈ a ) } {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{X\in {\mathfrak {g}}:[H,X]=\alpha (H)X\,\,(H\in {\mathfrak {a}})\}} とする。α ≠ 0 かつ g α ≠ ( 0 ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }\neq (0)} ならば α は制限ルートであるといい、 m α = dim g α {\displaystyle m_{\alpha }=\dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }} をその重複度と呼ぶ。 A = exp a {\displaystyle A=\exp {\mathfrak {a}}} と置けば G = KAK が成り立つ。キリング形式を制限したものは p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 上の（従って a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 上の）内積を定めるので、 a ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}} を a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} と同一視することができるようになる。この内積に関して、制限ルートの全体 Σ はルート系となり、そのワイル群は W = NK(A)/CK(A) と同一視することができる。正ルート系を一つ選べばワイルの小部屋 a + ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}^{*}} が定まる。制限ルート系 Σ0 は α/2 がルートとならないようなルート α からなる。 a ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}} の元 λ に対して、上で述べたように球函数 φ λ を定めると、Cc∞(K\G/K) に属する函数 f の球変換は f ~ ( λ ) = ∫ G f ( g ) φ − λ ( g ) d g {\displaystyle {\tilde {f}}(\lambda )=\int _{G}f(g)\varphi _{-\lambda }(g)\,dg} で定義され、球反転公式は f ( g ) = ∫ a + ∗ f ~ ( λ ) φ λ ( g ) | c ( λ ) | − 2 d λ {\displaystyle f(g)=\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {f}}(\lambda )\varphi _{\lambda }(g)\,|c(\lambda )|^{-2}\,d\lambda } であることを述べる。ここで、ハリッシュ＝チャンドラの c-函数 c(λ) は c ( λ ) = c 0 ⋅ ∏ α ∈ Σ 0 + 2 − i ( λ , α 0 ) Γ ( i ( λ , α 0 ) ) Γ ( 1 2 [ 1 2 m α + 1 + i ( λ , α 0 ) ] ) Γ ( 1 2 [ 1 2 m α + m 2 α + i ( λ , α 0 ) ] ) {\displaystyle c(\lambda )=c_{0}\cdot \prod _{\alpha \in \Sigma _{0}^{+}}{2^{-i(\lambda ,\alpha _{0})}\Gamma (i(\lambda ,\alpha _{0})) \over \Gamma ({1 \over 2}[{1 \over 2}m_{\alpha }+1+i(\lambda ,\alpha _{0})])\Gamma ({1 \over 2}[{1 \over 2}m_{\alpha }+m_{2\alpha }+i(\lambda ,\alpha _{0})])}} で定義される。ただし、 α 0 = ( α , α ) − 1 α {\displaystyle \alpha _{0}=(\alpha ,\alpha )^{-1}\alpha } であり、定数 c0 は ρ = 1 2 ∑ α ∈ Σ + m α α {\displaystyle \rho ={1 \over 2}\sum _{\alpha \in \Sigma ^{+}}m_{\alpha }\alpha } に対して、c(–iρ) = 1 が成り立つように選ぶものとする。 球函数に対するプランシュレルの定理は、写像 W : L 2 ( K ∖ G / K ) → L 2 ( a + ∗ , | c ( λ ) | − 2 d λ ) ; f ↦ f ~ {\displaystyle W\colon L^{2}(K\backslash G/K)\to L^{2}({\mathfrak {a}}_{+}^{*},|c(\lambda )|^{-2}\,d\lambda );\;f\mapsto {\tilde {f}}} がユニタリであり、 f ∈ L 1 ( K ∖ G / K ) {\displaystyle f\in L^{1}(K\backslash G/K)} による畳み込みを f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} による乗算へ写すことを述べるものである。
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