コクセター図形との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/17 01:16 UTC 版)
「ディンキン図形」の記事における「コクセター図形との関係」の解説
ディンキン図形は有限コクセター群のコクセター図形と密接に関係し、しばしば同じ用語を使う。 ディンキン図形は有限群のコクセター図形と2つの重要な点において異なる： 部分的に向き付けられている ディンキン図形は「部分的に向き付けられている」――任意の多重辺（コクセターの用語では "4" 以上でラベル付けられている辺）は向き付け（一方の頂点から他方を指す矢印）を持つ；したがってディンキン図形は underlying コクセター図形（無向グラフ）よりも「多くの」データを持っている。 ルート系のレベルでは、向き付けは短い方のベクトルに向かって指すことに対応する；"3" でラベル付けられた辺は向き付けされない、なぜならば対応するベクトルは同じ長さでなければならないからである。（注意：著者によってはこの慣習を逆にして矢印が長いベクトルを指すこともある。） 結晶的制限 ディンキン図形は追加の制限を満たさなければならない、すなわち可能な辺のラベルは 2, 3, 4, 6 のみである。これはコクセター図形は持たない制限で、したがって有限群のすべてのコクセター図形がディンキン図形から来るわけではない。 ルート系のレベルでは、これはルートが格子をなす結晶学的制限定理（英語版）に対応する。 もう1つの違いは、様式上のものでしかないが、ディンキン図形は伝統的に、辺に "p" とラベル付けずに、（p = 4, 6 に対して）二重あるいは三重の辺で描く。 用語「ディンキン図形」は時には「有向」グラフを、時に「無向」グラフを意味する。正確を期すため、この記事では「ディンキン図形」は「有向」を意味し、underlying 無向グラフ「無向ディンキン図形」と呼ぶ。するとディンキン図形とコクセター図形は以下のように関係する： crystallographicpoint group有向ディンキン図形 無向無向ディンキン図形 有限群のコクセター図形 これが意味するのは、有限群のコクセター図形は鏡映によって生成される点群に対応し、一方ディンキン図形は結晶学的制限定理（英語版）に対応する追加の制限を満たさなければならず、また、コクセター図形は無向であるが、一方ディンキン図形は（部分的に）有向であることである。 図形によって分類される対応する数学的対象は： crystallographicpoint group有向ルート系 無向ワイル群 有限コクセター群（英語版） 右上の空白は、underlying 無向グラフが（有限群の）任意のコクセター図形である有向グラフに対応しており、形式的に定義することはできるが、ほとんど議論されておらず、興味ある数学的対象のことばでの単純な解釈を持たないようである。 上から下への自然な写像――ディンキン図形から無向ディンキン図形へ、あるいはルート系から付随するワイル群へ――と左から右への自然な写像――無向ディンキン図形からコクセター図形へ、あるいはワイル群から有限コクセター群へ――が存在する。 下への写像は（定義により）全射であるが、単射ではない、なぜなら Bn と Cn の図形は同じ無向図形に写り、結果のコクセター図形とワイル群はしたがってときどき BCn と書かれる。 右への写像は単に包含であり――無向ディンキン図形はコクセター図形の特別な場合であり、ワイル群は有限コクセター群の特別な場合である――全射ではない、なぜならばすべてのコクセター図形が無向ディンキン図形ではなく（抜けている図形は H3, H4 と p = 5, p ≥ 7 に対する I2(p) である）、したがってすべての有限コクセター群がワイル群ではないからである。
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