グロモフの（プレ）コンパクト性定理（幾何学）
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/14 15:42 UTC 版)
「グロモフ・ハウスドルフ収束」の記事における「グロモフの（プレ）コンパクト性定理（幾何学）」の解説
詳細は「グロモフのコンパクト性定理 (幾何学)」を参照 グロモフ・ハウスドルフ収束に関する最も基本的な結果がグロモフ・ハウスドルフ空間のある部分集合が全有界（プレコンパクト）であることを主張する下記のグロモフのコンパクト性条件（英: Gromov's compactness criterion）である。定理を述べる前に空間の列に関する概念を一つ定義しておく。 一様にコンパクト コンパクト距離空間の族 {Xλ}λ ∈ Λ が一様にコンパクトとは２つの条件 {dia(Xλ)}λ ∈ Λ が有界。 任意の実数 ε >0 にたいし、ある自然数 Nε >0 が存在し各 Xλ は高々 Nε >0 の 半径 ε の球体で覆うことが出来る。 が共に満たされるときに言う。 グロモフのコンパクト性条件 コンパクト距離空間の列 {Xn}n ∈ N が一様にコンパクトのとき、ある部分列が存在し、コンパクト距離空間にグロモフ・ハウスドルフ収束する。 このことから直ちに基点付きグロモフ・ハウスドルフ収束についても同様のことが言えることが分かる。 これの応用である次の定理やその類型がグロモフのプレコンパクト性定理（英: Gromov's compactness theorem）と呼ばれている。 グロモフのプレコンパクト性定理 M(m , c , D) を直径が高々D でリッチ曲率が下からc で抑えられるようなm 次元完備リーマン多様体（の同型類）全体とする。このとき M(m , c , D) はグロモフハウスドルフ空間の中で全有界（言い換えると閉包がコンパクト）。
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