グッドスタイン数列の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/25 13:57 UTC 版)
「グッドスタインの定理」の記事における「グッドスタイン数列の例」の解説
初めのほうのグッドスタイン数列はすぐに終結する。G(3)の様子を見てみよう。 底遺伝的記法値備考2 21 + 1 3 1は20を表す。 3 31 + 1 − 1 = 3 3 2を3に置換してから1を引く 4 41 − 1 = 1 + 1 + 1 3 3を4に置換してから1を引く。得られる3は底である4よりも小さいので、41-1という表現は40 + 40 + 40つまり1 + 1 + 1となる。 5 1 + 1 + 1 − 1 = 1 + 1 2 ここに現れる1は皆50のこと。もはや底を換えても意味はない。この数列は以後0に行き着くことが明らかである。 6 1 + 1 − 1 = 1 1 7 1 − 1 = 0 0 この後の多くのグッドスタイン数列は非常に長い間に渡って増大し続ける。例えば、G(4)は次のように始まる。 遺伝的記法値22 4 2·32 + 2·3 + 2 26 2·42 + 2·4 + 1 41 2·52 + 2·5 60 2·62 + 6 + 5 83 2·72 + 7 + 4 109 ... 2·112 + 11 253 2·122 + 11 299 ... G(4)の項はしばらく増大し続けるが、底が3 · 2402653209となったところで最大値3 · 2402653210 − 1に達し、そのまま3 · 2402653209項の間同じ値を取り続けてから、最初で最後の下降を始める。 値が0となるのは底が3 · 2402653211 − 1の時である。しかしながら、G(4)はグッドスタイン数列が「いかに」急速に増大し得るかについて、良い例とは言えない。G(19)ははるかに急速に増大する。立ち上がりを見てみよう。 遺伝的記法値 2 2 2 + 2 + 1 {\displaystyle 2^{2^{2}}+2+1} 19 3 3 3 + 3 {\displaystyle 3^{3^{3}}+3} 7625597484990 4 4 4 + 3 {\displaystyle 4^{4^{4}}+3} 約 1.3 × 10154 5 5 5 + 2 {\displaystyle 5^{5^{5}}+2} 約 1.8 × 102184 6 6 6 + 1 {\displaystyle 6^{6^{6}}+1} 約 2.6 × 1036305 7 7 7 {\displaystyle 7^{7^{7}}} 約 3.8 × 10695974 7 × 8 ( 7 × 8 7 + 7 × 8 6 + 7 × 8 5 + 7 × 8 4 + 7 × 8 3 + 7 × 8 2 + 7 × 8 + 7 ) {\displaystyle 7\times 8^{(7\times 8^{7}+7\times 8^{6}+7\times 8^{5}+7\times 8^{4}+7\times 8^{3}+7\times 8^{2}+7\times 8+7)}} + 7 × 8 ( 7 × 8 7 + 7 × 8 6 + 7 × 8 5 + 7 × 8 4 + 7 × 8 3 + 7 × 8 2 + 7 × 8 + 6 ) + ⋯ {\displaystyle +7\times 8^{(7\times 8^{7}+7\times 8^{6}+7\times 8^{5}+7\times 8^{4}+7\times 8^{3}+7\times 8^{2}+7\times 8+6)}+\cdots } + 7 × 8 ( 8 + 2 ) + 7 × 8 ( 8 + 1 ) {\displaystyle +7\times 8^{(8+2)}+7\times 8^{(8+1)}} + 7 × 8 8 + 7 × 8 7 + 7 × 8 6 {\displaystyle +7\times 8^{8}+7\times 8^{7}+7\times 8^{6}} + 7 × 8 5 + 7 × 8 4 + 7 × 8 3 + 7 × 8 2 + 7 × 8 + 7 {\displaystyle +7\times 8^{5}+7\times 8^{4}+7\times 8^{3}+7\times 8^{2}+7\times 8+7} 約 6 × 1015151335 7 × 9 ( 7 × 9 7 + 7 × 9 6 + 7 × 9 5 + 7 × 9 4 + 7 × 9 3 + 7 × 9 2 + 7 × 9 + 7 ) {\displaystyle 7\times 9^{(7\times 9^{7}+7\times 9^{6}+7\times 9^{5}+7\times 9^{4}+7\times 9^{3}+7\times 9^{2}+7\times 9+7)}} + 7 × 9 ( 7 × 9 7 + 7 × 9 6 + 7 × 9 5 + 7 × 9 4 + 7 × 9 3 + 7 × 9 2 + 7 × 9 + 6 ) + ⋯ {\displaystyle +7\times 9^{(7\times 9^{7}+7\times 9^{6}+7\times 9^{5}+7\times 9^{4}+7\times 9^{3}+7\times 9^{2}+7\times 9+6)}+\cdots } + 7 × 9 ( 9 + 2 ) + 7 × 9 ( 9 + 1 ) {\displaystyle +7\times 9^{(9+2)}+7\times 9^{(9+1)}} + 7 × 9 9 + 7 × 9 7 + 7 × 9 6 {\displaystyle +7\times 9^{9}+7\times 9^{7}+7\times 9^{6}} + 7 × 9 5 + 7 × 9 4 + 7 × 9 3 + 7 × 9 2 + 7 × 9 + 6 {\displaystyle +7\times 9^{5}+7\times 9^{4}+7\times 9^{3}+7\times 9^{2}+7\times 9+6} 約 4.3 × 10369693099 ... これだけ急速に増大するにもかかわらず、グッドスタインの定理は、初項mが何であろうとグッドスタイン数列は必ず0で終わると主張する。
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