グッドスタイン数列の定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/25 13:57 UTC 版)
「グッドスタインの定理」の記事における「グッドスタイン数列の定義」の解説
グッドスタイン数列を定義するに当たり、まず「nを底とした遺伝的記法」を定義する。ある自然数をｎを底とした遺伝的記法で表すためには、まずその数を a k n k + a k − 1 n k − 1 + ⋯ + a 0 {\displaystyle a_{k}n^{k}+a_{k-1}n^{k-1}+\cdots +a_{0}} （ただし、 a i {\displaystyle a_{i}} は0とn-1の間の値をとる整数）という形に書き換える。次に、ここに現れる各項を独立したnの積で表す。たとえば a k n k {\displaystyle a_{k}n^{k}} は n k + n k + ⋯ + n k {\displaystyle n^{k}+n^{k}+\cdots +n^{k}} という形になる。そのあと今度は全ての指数kをnを底とした遺伝的記法に書き換える。以下、再帰的に繰り返して、記述中に現れる全ての数字がnか0になるまで続ける。つまり指数でない全ての数字はnとなり、全ての指数（とその指数）はnまたは0になる（ n 0 = 1 {\displaystyle n^{0}=1} である点に注意）。 例えば、35は2を底として普通に書くと 2 5 + 2 + 1 {\displaystyle 2^{5}+2+1} となるが、遺伝的記法で書くと 2 2 2 + 1 + 2 + 1 {\displaystyle 2^{2^{2}+1}+2+1} となる。 数字mのグッドスタイン数列をG(m)と書き、次のように定義する。数列の初項はmとする。次項を得るには、mを2を底とした遺伝的記法で書いてから、現れる「2」を全て3に置換し、結果から1を引く。これがG(m)の第2項である。G(m)の第3項を得るには、一つ前の項（の3を底とした遺伝的記法）の「3」を全て4に置換し、結果からまた1を引く。以下、同様に繰り返し、結果が0になった時が数列の終わりである。
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