イデアルと指標
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/09/10 01:11 UTC 版)
A を C 上の単位的「可換」バナッハ環とする。A は単位元を持つ可換環であるため、A の各非可逆元は A の適当な極大イデアルに属す。A 内の極大イデアル m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} は閉であるため、 A / m {\displaystyle A/{\mathfrak {m}}} は体であるようなバナッハ環であり、ゲルファント＝マズールの定理から、A のすべての極大イデアルの集合と A から C へのすべての非ゼロな準同型の集合 Δ(A) の間には全単射が存在することが分かる。集合 Δ(A) は A の構造空間（英語版）あるいは指標空間（character space）と呼ばれ、その元は指標（character）と呼ばれる。 指標 χ は A 上の線型汎関数で、乗法的 χ(ab) = χ(a)⋅χ(b) かつ χ(1) = 1 を満たす。指標の核は閉であるような極大イデアルであるため、すべての指標は自動的に A から C への連続写像となる。さらに、指標のノルム（すなわち作用素ノルム）は 1 である。A 上の各点収束の位相（すなわち、A* の弱-∗ 位相より導かれる位相）が備えられることで、指標空間 Δ(A) はコンパクトなハウスドルフ空間となる。 任意の x ∈ A に対し σ ( x ) = σ ( x ^ ) {\displaystyle \sigma (x)=\sigma ({\hat {x}})} が成立する。ここで ^x は x のゲルファント表現（英語版）、すなわち ^x(χ) = χ(x) で与えられる Δ(A) から C への連続関数である。上述の式において、^x のスペクトルは、コンパクト空間 Δ(A) 上の複素連続関数の環 C(Δ(A)) の元としてのスペクトルである。明らかに σ ( x ^ ) = { χ ( x ) : χ ∈ Δ ( A ) } {\displaystyle \sigma ({\hat {x}})=\{\chi (x):\chi \in \Delta (A)\}} が成立する。環として、単位的可換バナッハ環が半単純（すなわち、ジャコブソン根基がゼロ）であるための必要十分条件は、そのゲルファント表現が自明な核を持つことである。そのような環の重要な一例は、可換な C*-環である。実際、A が可換な単位的 C*-環であるなら、ゲルファント表現 A と C(Δ(A)) の間の等長 ∗-同型となる。
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