イデアルの演算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/21 08:06 UTC 版)
「イデアル (環論)」の記事における「イデアルの演算」の解説
I, J を環 R の左（右）イデアルとする。I, J の和を I + J := { a + b ∣ a ∈ I , b ∈ J } {\displaystyle I+J:=\{a+b\mid a\in I,\,b\in J\}} で定義すると、これは I, J を含む左（右）イデアルのうち最小のものである。また、I と J の積集合 I ∩ J は I, J に含まれる左（右）イデアルのうち、最大のものである。しかし、和集合 I ∪ J は必ずしもイデアルにならない。I と J が共に両側イデアルのとき、それらの積を I J := { a 1 b 1 + ⋯ + a n b n ∣ n ∈ N , a i ∈ I , b i ∈ J } {\displaystyle IJ:=\{a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,\,a_{i}\in I,\,b_{i}\in J\}} で定義すると、これはまた両側イデアルであり、I ∩ J に含まれる。積の定義は、単なる I の元と J の元の積ではなく、その有限和全体の集合であることに注意する必要がある。これらの間の包含関係をまとめると次のようになる。 I J ⊂ I ∩ J ⊂ I ( J ) ⊂ I ∪ J ⊂ I + J {\displaystyle IJ\subset I\cap J\subset I\,(J)\subset I\cup J\subset I+J} ただし、最初の包含関係は、I, J が両側イデアルの場合である。
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