アイソクライン法による概略

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アイソクライン法による概略

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/12 17:08 UTC 版)

「ロトカ・ヴォルテラの方程式」の記事における「アイソクライン法による概略」の解説

x と y を変数とする平面（相平面）上で、dx/dt = 0 または dy/dt = 0 を満たす直線に注目することで、個体数がどのような振る舞いを起こしているかの概略を知ることができる。このような手法をアイソクライン法や等傾斜線法と呼ぶ。 相平面で横軸を x、縦軸を y とする。現実の生物では個体数は正の値であるので、x と y の値が正である相平面の第一象限が興味の対象となる。相平面上では、dx/dt = 0 を満たす直線とは y = a/b と x = 0 の直線であり、dy/dt = 0 を満たす直線とは x = d/c と y = 0 の直線である。このような dx/dt = 0 または dy/dt = 0 を満たす直線を アイソクラインや等傾斜線と呼ぶ。前者の直線上では dx/dt = 0 であるから、解曲線がこの直線を通るとき、x の値は変化せず、y の値のみが変化する。よって、解曲線は直線を上下方向（y軸方向）にだけ通過する。そのため、この直線を傾き無限大のアイソクラインと呼ぶ。一方、後者の直線上では dy/dt = 0 であるから、同じ理屈から解曲線はこの直線を左右方向（x軸方向）にだけ通過する。そのため、この直線を傾きゼロのアイソクラインと呼ぶ。 相平面に y = a/b の水平線と x = d/c の鉛直線を描くと、平衡点 (d/c, a/b) で2つの直線は交わり、相平面は4つの領域に分類される。y = a/b の直線より上側の領域では、dx/dt の値は常に負となっている。一方、下側の領域は dx/dt の値は常に正となる。ここで、dx/dt の値が正ということは x の値が増加している状態であり、負ということは x の値が減少している状態である。よって、方程式の解の曲線は、y = a/b の直線より上側の領域では左向きに進み、下側の領域では右向きに進むことが予測できる。 また同様に、x = d/c の直線より左側の領域では dy/dt の値は常に負で、右側の領域は dy/dt の値は常に正となる。これによって上記と同じように、方程式の解の曲線は、x = d/c の直線より左側の領域では下向きに進み、右側の領域では上向きに進むことが予測できる。これらを組み合わせると、解の曲線は、平衡点 (d/c, a/b) を中心にして反時計回りに回転する軌道となっていることが明らかになる。 .mw-parser-output .tmulti .thumbinner{display:flex;flex-direction:column}.mw-parser-output .tmulti .trow{display:flex;flex-direction:row;clear:left;flex-wrap:wrap;width:100%;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .tmulti .tsingle{margin:1px;float:left}.mw-parser-output .tmulti .theader{clear:both;font-weight:bold;text-align:center;align-self:center;background-color:transparent;width:100%}.mw-parser-output .tmulti .thumbcaption{background-color:transparent}.mw-parser-output .tmulti .text-align-left{text-align:left}.mw-parser-output .tmulti .text-align-right{text-align:right}.mw-parser-output .tmulti .text-align-center{text-align:center}@media all and (max-width:720px){.mw-parser-output .tmulti .thumbinner{width:100%!important;box-sizing:border-box;max-width:none!important;align-items:center}.mw-parser-output .tmulti .trow{justify-content:center}.mw-parser-output .tmulti .tsingle{float:none!important;max-width:100%!important;box-sizing:border-box;align-items:center}.mw-parser-output .tmulti .trow>.thumbcaption{text-align:center}} 1) 解曲線は、y = a/b の直線より上側領域では左向きに進み、下側領域では右向きに進む 2) 解曲線は、x = d/c の直線より左側領域では下向きに進み、右側領域では上向きに進む 3) 解曲線は、平衡点 (d/c, a/b) を中心にして反時計回りに回転する軌道となる