外積代数

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/01 07:18 UTC 版)

応用

線型代数

分解可能 $k$ -ベクトルは幾何学的に解釈することができる。2-ベクトル $u \land v$ は $u, v$ で張られる、 $u$ と $v$ を辺に持つ向き付けられた平行四辺形の面積で与えられる数の「重み」を持つ平面を表す。同様にして 3-ベクトル $u \land v \land w$ は、 $u, v, w$ を辺とする平行六面体の体積で重み付けられた 3 次元空間を表す。

射影幾何

$⋀ k (V)$ の分解可能 $k$ -ベクトルは $V$ の重み付き $k$ -次元部分空間に対応する。特に $V$ の $k$ -次元部分空間のグラスマン多様体 $Gr k (V)$ は自然に射影空間 $P (⋀ k (V))$ のある代数多様体と同一視される。これをプリュッカー埋め込み（英語版）という。

微分幾何

外積代数の微分幾何における特筆すべき応用は、微分形式の定義に用いられることである。可微分多様体上の点における微分形式は、その点の接空間における重線型交代形式であり、 $k$ -次微分形式は接空間の $k$ -次外冪からの線型汎函数である。結論として、重線型形式の楔積は自然に微分形式の楔積を定める。微分形式は微分幾何のさまざまな部分で大きな役割を担う。

特に、外微分は多様体上の微分形式に外積代数に微分環の構造を与える。外微分は多様体間の滑らかな写像に沿っての引き戻しと可換であり、それゆえに自然な微分作用素である。外微分を備えた微分形式の外積代数は、そのコホモロジーが台となる多様体のド・ラームコホモロジーと呼ばれる微分複体を成し、可微分多様体の代数的位相幾何学の根幹を成している。

表現論

表現論において、外積代数はベクトル空間の圏における二つの基本シューア函手（英語版）のうちの一つで、もう一方は対称代数である。これらの構成はともに一般線型群の既約表現を生み出すのに用いられる。

物理学

外積代数は、フェルミオンと超対称性に関する物理理論において基本的な役割を演じる、超代数（英語版）の原型的な例である。物理学的な議論はグラスマン数を見よ。ほかのいくつかの関連する概念の物理学への応用は超空間（英語版）や超群（英語版）を参照。

脚注

注釈

^ Grassmann (1844) では拡大された代数 (extended algebra) として導入されている (cf. Clifford 1878)。おそらく現代的な線型代数学において定義されるところの outer product との区別のために、グラスマンは彼の定義した（今日では便利に外積 (exterior product) と呼ばれる）積 (produkt) を指し示すだけのために äußere（逐語訳すれば外の (outer) あるいは外部の(exterior)）という言葉を用いた。
^ 注意すべきは、多元環 $⋀(V)$ の任意の元に対して成立が要請される結合性や双線型性とは異なり、ここに挙げられる 3 つの条件は、この多元環の部分空間である $V$ 上でのみ制約として課せられているということである。ここで条件 (1) と条件 (3) は同値であり、条件 (1) と条件 (2) は $K$ の標数が $2$ でない限り同値である。
^ これは標準的な定義の一つ。See, for instance, MacLane & Birkhoff (1999).
^ 慣習的に、特に物理学では、楔積を
$\omega \wedge \eta ={\rm {Alt}}(\omega \otimes \eta )$
で定義することがある。この定義は本項での定義とは一致しないが、交代テンソルの話とは繋がりがある。
^ 主張のうち $⋀$ が全射を全射に写すという部分はより一般に $V$ と $W$ が環上の加群である場合にも成り立つ。See Bourbaki (1989, Proposition 3, III.7.2).
^ このことは $V$ と $W$ が可換環上の射影加群である場合にのみ一般化できる。そうでない場合には $⋀$ が単射を単射に写すことが一般には期待できない。See Bourbaki (1989, Corollary to Proposition 12, III.7.9).
^ このようなフィルトレーションはベクトル束や可換環上の射影加群についても取れる。これはしたがって、上述の直和に対する結果よりもっと一般的な結果である。実際、他のアーベル圏では必ずしも短完全列が分裂するとは限らない。
^ カネンバーグはグラスマンの仕事の英訳 (Kannenberg 2000) において Ausdehnungslehre を Extension Theory と訳している。
^ かつてはこの計算についてさまざまな呼び方が成されており、calculus of extension (Whitehead 1898; Forder 1941) とか extensive algebra (Clifford 1878) とか、近いところでは extended vector algebra (Browne 2007) などがある。

出典

^ この面積の公理化はレオポルト・クロネッカーとカール・ワイエルシュトラスによる; see Bourbaki (1989, Historical Note)。近代的な取り扱いについては、see MacLane & Birkhoff (1999, Theorem IX.2.2)。初等的な取り扱いについては、see Strang (1993, Chapter 5)。
^ このことのもっと一般な証明はたとえば Bourbaki (1989) に見ることができる。
^ See Sternberg (1964, §III.6).
^ Bourbaki (1989, III.7.1) および MacLane & Birkhoff (1999, Theorem XVI.6.8) を見よ。一般の普遍性に基づくより詳細な議論は MacLane & Birkhoff (1999, Chapter VI) およびブルバキの著作の至る所で見ることができる。
^ See Bourbaki (1989, III.7.5) for generalizations.
^ J. Itard (1970-1990). Biography in Dictionary of Scientific Biography. New York .
^ Bourbaki 1989, p. 661